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Él mismo contiene el cuadrado (2k+1) 2 , pero si le sumamos una unidad se<br />
convertirá en 4H+4=4(H+1) y también tendrá l divisor cuadrado 4.<br />
Si el cuadrado de un número impar lo multiplicas por otro impar del tipo<br />
4m+3, obtienes el primer elemento de uno de los pares del conjunto.<br />
En este caso figurarán como primeros elementos 9*3=27, 9*7=63, 9*11=99,…<br />
como segundo elemento del par.<br />
Todos los números del tipo (n+1)(n-1) pertenece al conjunto si uno al<br />
menos de los factores no está libre de cuadrados.<br />
Es fácil verlo. Si uno de los factores contiene un divisor cuadrado, el producto<br />
también lo tendrá, luego es un candidato a figurar en el conjunto. Pero su<br />
consecutivo es n 2 -1+1=n 2 , luego también cumple tener una parte cuadrada no<br />
trivial. De ese tipo son: 8, 63, 80,…<br />
Progresiones aritméticas en el conjunto.<br />
Labos Elemer descubre en la página citada que existe en ese conjunto<br />
muchas progresiones aritméticas. Él da como ejemplo (36n+8, 36n+9).<br />
Intentaremos descubrir algunas.<br />
Imagina un par cualquiera, (aX 2 , bY 2 ). Calculemos el mínimo múltiplo común a<br />
X 2 y a Y 2 , llamémosle H (no tiene que ser el mínimo. Nos vale cualquier<br />
múltiplo). Tendrá entonces a forma H=mX 2 y también H=nY 2 . Si sumamos un<br />
múltiplo de H a ambos elementos del par tendremos: kH+ aX 2 , kH+ bY 2 o bien<br />
k(m+a) X 2 , k(n+b)Y 2 . Estos nuevos elementos seguirán siendo consecutivos y<br />
con parte cuadrada mayor que 1, luego pertenecerán también al conjunto.<br />
Como k es variable, desembocaremos en una progresión aritmética.<br />
Vemos un ejemplo. Tomamos un par de la tabla, como 98=2*7 2 y 99=11*3 2 .<br />
Un múltiplo común de 7 2 y 3 2 es su producto 441, luego si a ambos les<br />
sumamos ese número reiteradamente resultarán más pares del conjunto:<br />
(98, 99), (539, 540), (980, 981), (1421, 1422),…<br />
Múltiplos de los términos<br />
Hemos explorado la posibilidad de que si un número pertenece al conjunto<br />
como primer elemento del par o como segundo, exista un múltiplo suyo que<br />
también pertenezca.<br />
En el caso del primero creemos que existe siempre un múltiplo suyo que<br />
también forma un par similar, pero lo dejamos como conjetura porque no<br />
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