Divisores

Un ejemplo es el número 1800=2*2*2*3*3*5*5=2^3*3^2*5^2. Es de
Aquiles porque sus exponentes son primos entre sí y todos mayores
que la unidad. Probemos a ir suprimiendo factores: el 2 no podemos
suprimirlo, pues se igualarían los exponentes y obtendríamos una
potencia. Un 3 o un 5 tampoco, porque daría exponente 1. Luego
habrá que probar a suprimir dos factores. Como 2*2 no se puede (¿por
qué?), probamos la solución mínima, 3*3, que si deja un divisor igual a
200=2*2*2*5*5=2^3*5^2, que coincide con la tabla. Otra solución sería
suprimir 5*5, pero ya nos daría un divisor más pequeño.
Con el múltiplo nos ocurriría lo mismo. Omitimos los pasos. La solución
mejor es aumentar un 3 y llegar al múltiplo
5400=2*2*2*3*3*3*5*5=2^3*3^3*5^2.
Queda así comprobado que la holgura de 1800 es 27: dos veces el 3
para conseguir el divisor y una vez para el múltiplo.
Puedes intentar razonar la holgura de otros números de la tabla o fuera
de ella. Aprenderás mucho.
Si en un número N de Aquiles presenta un mayor divisor propio
también de Aquiles, tendrá un cociente por la izquierda equivalente a
un número primo (¿por qué?). Los números que tienen esa propiedad
son estos:
864 1944, 3888, 4000, 5400, 6912, 9000, 10584, 10800, 10976, 17496, 18000, 21168,
21600, 24696, 25000, 26136, 30375, 31104, 32000, 34992, 36000, 36504, 42336,
42592, 43200, 48600, 49000, 49392, 50000…(los hemos publicado en
http://oeis.org/A203662)
En ellos se cumplen dos propiedades que podrías intentar justificar:
El exponente del menor factor primo de cada uno de ellos es mayor
que 2.Todos tienen los mismos factores primos (salvo los exponentes)
que su mayor divisor propio.
Un ejercicio muy interesante es tomar los primeros primos 2, 3, 5, … y
combinar sus potencias para formar números de Aquiles, procurando
que la primera tenga al menos exponente 3, y que al suprimir el factor
más pequeño siga resultando un número de Aquiles. Por ejemplo:
2*2*2*2*3*3*3*3*3 es de Aquiles y si suprimimos un 2, queda
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