Divisores

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680,
2520, 5040, ... (http://oeis.org/A002182)
La sucesión contiene infinitos términos, porque si N es NAC, el número
2N tiene los mismos factores primos que N y uno más, luego al menos
existe un número con más divisores que N y recorriendo N+1, N+2,
N+3,…N+N=2N bastará quedarse con el primer número que presente
un máximo de divisores respecto a los anteriores (puede ser el mismo
2N).
Podemos expresarlo mediante la función divisor o sigma 0 , que cuenta
los divisores de un número. En los NAC esta función presenta un valor
superior al de cualquier otro número entero menor que él.
Pero si recordamos que la expresión de la función divisor es
siendo a i los exponentes en su descomposición en factores primos
comprenderemos que lo que debemos estudiar son los máximos de
esta expresión, que sólo dependen de la signatura prima de N (esto es,
el conjunto de los exponentes en la factorización. Esto es importante: si
sustituimos uno de los números primos de la factorización por otro, el
valor de la función divisor no se altera. Esta idea tan simple nos lleva a
la primera propiedad de los NAC:
Todo número altamente compuesto tiene como factores primos
los primeros de la lista, de forma consecutiva: 2, 3, 5, 7, 11, …
N = 2 e 13 e 25 e 37 e 4…
Es sencillo demostrarlo. Imagina que en su desarrollo no figuraran
todos los primeros números primos. Por ejemplo, que figurara el 11 y
no el 7. Entonces, si sustituyéramos el 11 por un 7, el valor de N
disminuiría, pero el de su función divisor, tal como vimos en el párrafo
anterior, se mantendría igual, lo que contradice lo afirmado de que N
presenta más divisores que cualquier otro número menor.
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