Metodi e strumenti di misura per l'esecuzione di test non distruttivi ...

Capitolo 2 I metodi di indagine proposti
dove Vc è il dominio conduttore, ω è la pulsazione angolare, η è la resistività del materiale
conduttore e A0 è il potenziale vettore prodotto dalle bobine.
A partire da questo modello numerico, si può risolvere il problema del calcolo di Zcoil per
un’assegnata posizione e forma dell’inclusione. In particolare, si ha che la matrice Zcoil si può
scrivere come Zcoil = ω 2 M T Z -1 M+Z0 dove Z0 è la matrice (nota) delle impedenze in assenza
del materiale conduttore, = { M }
M con
ik
M ∫ T x A x dV ed
ik ∇× i( ) ⋅
0
k ( ) ,
Vc
0
A k è il potenziale
vettore prodotto da una corrente unitaria circolante nella k-esima bobina quando è posta nello
spazio libero.
Z Z Z si ricava
∗
Sviluppando in serie di potenze rispetto ad ω la matrice differenza coil = 0 − coil ,
R = Re Z = ω P + O(
ω ) con
∗ ∗ 2 (2) 4
che { }
(5)
coil coil
=−
(2) T −1
P M R M . (momento del secondo ordine)
Affinché il modello matematico, utilizzato per la soluzione del problema inverso, ammetta
una corretta procedura di inversione, deve essere verificata la seguente proprietà:
(6)
dove
η ( x) ≥η ( x)
⇒P −P
è una matrice semi-definita positiva
(2) (2)
1 2 1 2
(2)
P k è il momento del secondo ordine (calcolato mediante la (5)), corrispondente alla
resistività ηk.
Particolarizzando la (6) al problema dell’identificazione della posizione e forma delle
inclusioni, si ricava:
(7)
D ⊆D ⇒P −P
è una matrice semi-definita positiva
(2) (2)
β α α β
dove Dα e Dβ sono sottoinsiemi del dominio conduttore Vc, e
(2)
P k è il momento del secondo
ordine associato alla resistività ηk corrispondente ad un’inclusione in Dk ,cioè ηk( x)
= ηi
in Dk
e η ( x)
= η in Vc\ Dk.
k b
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