matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Algoritmul Yu Chen pentru grafuri cu circuite.
Acest algoritm are următorii pa¸si:
Pasul 1. Se determină componentele tare conexe ale grafului (X, Γ), notatecuC1,C2,....
Pasul 2. Se determină graful condensat asociat grafului (X, Γ), care este un graf fără circuite.
Pasul 3. Se determină drumul hamiltonian în graful condensat, când există.
Pasul 4. Se aranjează componentele tare conexe în ordinea dată de drumul hamiltonian
determinat la Pasul 3.
Pasul 5. Se scriu toate drumurile hamiltoniene din fiecare componentă tareconexă.
Pasul 7. Stabilim legăturile de la o componentă laaltaîn funct¸iedearceledeincident¸ă
(legătură) din graful dat, citind apoi toate drumurile hamiltoniene.
Observat¸ia 6.2.3 Dacăîn graful condensat nu există drum hamiltonian sau între două componente
nu există legătură, atunci graful nu are drumuri hamiltoniene.
Exemplul 6.2.7. Să aflăm drumurile hamiltoniene ale grafului din figura 20.
La exemplul 6.2.5 am găsit componentele tare conexe
C1 = {x1,x3,x7,x8},C2 = {x2},C3 = {x4},C4 = {x5,x6}
¸si graful condensat din figura 21.
Se observă că în graful condensat avem drumul hamiltonian
dCH = {C1,C3,C4,C2}.
Acum, scriem componentele tare conexe în ordinea din drumul dCH ¸si sub ele scriem
toate drumurile hamiltoniene din fiecare componentă:
C1 C3 C4 C2
x1x3x8x7 ↘
x7x8x1x3 ↗ x4 ↗ x5x6 ↘
x6x7
Apoi stabilim legăturile între ultimele elemente din drumurile dintr-o componentă ¸si
primele vârfuri din componenta următoare (le indicăm prin săget¸i).
Obt¸inem drumurile hamiltoniene:
d1H = {x1,x3,x8,x7,x4,x5,x6,x2}
d2H = {x7,x8,x1,x3,x4,x5,x6,x2}
Algoritmul matricilor latine. Vom prezenta un procedeu prin care se pot găsi toate drumurile
elementare, deci ¸si cele hamiltoniene, precum ¸si circuitele hamiltoniene. Fie (X, Γ)
un graf.
Vom utiliza matricea latină (Definit¸ia 6.1.20) L =(lij), unde
xixj , dacă (xi,xj) ∈ Γ
lij =
0 , dacă (xi,xj) ∈ Γ,i,j = 1,n.
Construim matricea L, obt¸inută din L prin înlăturarea lui xi din succesiunea xixj,
când acasta există.
Acum, definim o înmult¸ire specială de matrice, numită înmult¸irea latină ¸si notată
prin ”∗”, după cum urmează: a) înmult¸irea se face linii prin coloane; b) în locul înmult¸irii
obi¸snuite se face o alăturare de elemente, dacă acestea nu se repetă, sau se scrie 0 în caz
contrar; c) în locul adunării obi¸snuite se iau grupele obt¸inute la b, când avem astfel de
grupe. Prescurtat, vom scrie L ∗ L = L 2 . Analog, calculăm L 2 ∗ L = L 3 ,...,L k−1 ∗ L = L k . Se
observă că L k cont¸ine toate drumurile elementare de lungime k.
Prin urmare, în matricea L n−1 figurează toate drumurile hamiltoniene. Dacă dorim
să obt¸inem circuitele hamiltoniene se va calcula L n , dar admitem, ca except¸ie, situat¸ia de
repetare a primului ¸si a ultimului vârf (cel care închide circuitul).
Exemplul 6.2.8. Pentru graful din figura 23 să se determine drumurile hamiltoniene.
109
x2