matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Observat¸ia 8.1.2 Pentru l1 =+∞ ¸si l2 = −∞ operat¸ia l1 + l2 este fără sens(numit¸si caz de
except¸ie sau caz de nedeterminare) deoarece în acest caz nu se poate preciza de la început
valoarea lui l1 + l2, aceasta putând să fie orice număr real, +∞, −∞ sau să nu existe, în
funct¸ie de (an) ¸si (bn).
Observat¸ia 8.1.3 Afirmat¸iile din Propozit¸ia 8.1.6 rămân valabile ¸si pentru un număr finit
de termeni independent de n.
Astfel, putem scrie
1 2 k
lim + + ···+ =0(k independent de n)
n→∞ n n n
dar nu putem scrie
Corect, avem
1 2 n
lim + + ...+
n→∞ n n n
=0+...+0=0
∞·0
1 2 n 1+2+...+ n
lim + + ...+ = lim
=
n→∞ n n n n→∞ n
n(n +1) n +1
= lim = lim = ∞.
n→∞ 2n n→∞ 2
Propozit¸ia 8.1.7 Fie (an) ¸si (bn) două ¸siruri de numere reale cu lim
n→∞ an = l1 ¸si lim
n→∞ bn = l2.
Dacă l1 · l2 are sens, atunci lim
n→∞ (anbn) = lim
n→∞ an · lim
n→∞ bn = l1 · l2.
Demonstrat¸ie. Să considerăm l1 ¸si l2 finite. Dacă l2 =0, atunci t¸inând seama că an este
mărginit, pe baza Observat¸iei 8.1.1, găsim lim
n→∞ anbn =0.
Să presupunem că l2 = 0.Cum(an) este convergent, pe de o parte este mărginit, adică
există M>0 a¸sa încât |an| 0
există n1ε ∈ N a¸sa încât
|an − l1| < ε
, pentru orice n>n1ε
2|l2|
Din lim
n→∞ bn = l2 rezultă căpentruoriceε>0 există n2ε ∈ N a¸sa ca
|bn − l2| < ε
, pentru orice n>n2ε.
2M
Considerând nε = max{n1ε,n2ε}, avem
|anbn − l1l2| = |anbn − anl2 + anl2 − l1l2| = |an(bn − l2)+l2(an − l1)| ≤
≤|an| |bn − l2| + |l2| |an − l1| nε, adică lim
n→∞ (anbn) =l1l2.
Analog se arată că: dacă l1 finit ¸si l2 =+∞, atunci l1 · l2 =+∞, dacă l1 > 0 ¸si l1l2 = −∞,
dacă l1 < 0, dacă l1 finit ¸si l2 = −∞, atunci l1l2 = −∞, dacă l1 > 0 ¸si l1l2 =+∞, dacă l1 < 0;
dacă l1 =+∞ ¸si l2 = −∞, atunci l1l2 = −∞, dacă l1 =+∞ ¸si l2 =+∞, atunci l1l2 =+∞ iar
dacă l1 = −∞ ¸si l2 = −∞, atunci l1l2 =+∞.
Observat¸ia 8.1.4 Pentru l1 =0¸si l2 = ±∞, operat¸ia l1l2 este fără sens.
Observat¸ia 8.1.5 Cele afirmate la Observat¸ia 8.1.3 rămân valabile ¸si la produsul de ¸siruri.
Propozit¸ia 8.1.8 Fie (an) un ¸sirdenumererealecu lim
n→∞ an = l.
153