matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Propozit¸ia 3.1.4 Înmult¸irea matricelor, când are sens, este asociativă.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K), B =(bij) ∈Mn×p(K), C =(cij) ∈Mp×q(K). Avem
n
A(BC) =
p
n
=
p
=
k=1
=
aik
l=1
p
n
l=1
k=1
bklclj
aikbkl
clj
k=1
l=1
=(AB)C.
aikbklclj
Propozit¸ia 3.1.5 Înmult¸irea matricelor este distributivă fat¸ă de adunarea lor.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K), B =(bij) ∈Mn×p(K) ¸si C =(cij) ∈Mn×p(K). Avem
n
n
n
A[B + C] = aik[bkj + ckj] = aikbkj +
=
=
k=1
n
k=1
aikbkj
n
+
k=1
aikckj
k=1
k=1
= AB + AC,
aikckj
adică înmult¸irea este distributivă lastânga fat¸ă de adunare. În mod analog, se demonstrează
¸si distributivitatea la dreapta.
Definit¸ia 3.1.14 Matricea pătratică In =(δij), i, j = 1,n,unde
1,i= j
δij =
0,i= j i,j = 1,n
este simbolul lui Kronecker, senume¸ste matricea unitate de ordinul n.
Altfel spus, matricea In este o matrice diagonală cu toate elementele de pe diagonala
principală egale cu 1. Când nu dorim să precizăm ordinul matricei unitate o vom nota prin
I.
Observat¸ia 3.1.2 Pentru orice matrice A ∈Mm×n(K) avem
ImA = A ¸si AIn = A.
Observat¸ia 3.1.3 Înmult¸irea matricelor, în general. nu este comutativă.
Din proprietăt¸ile adunării ¸si înmult¸irii rezultă:
Propozit¸ia 3.1.6 Mult¸imea M n 2(K) a matricelor pătratice de acela¸si ordin n înzestrată cu
operat¸iile de adunare ¸si înmult¸ire are o structură de inel cu divizori ai lui zero.
Propozit¸ia 3.1.7 Transpusa unui produs de două matrice este egală cu produsul transpuselor
în ordine inversă.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K) ¸si B =(bij) ∈Mn×p(K). Avem
n
t t
(AB) =
n
=
n
=
k=1
aikbkj
k=1
ajkbki
k=1
bkiajk
= t B t A.
Rezultatul obt¸inut se poate extinde prin induct¸ie matematică la un produs cu un
număr finit de factori.
Definit¸ia 3.1.15 Se nume¸ste inversa matricei pătratice A, matricea notată cuA −1 , care satisface
condit¸iile A · A −1 = A −1 · A = I.
33