matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Cum tot¸i Δj ≥ 0, j = 1, 7. rezultăcăsolut¸ia problemei de P.L. standard este
iar a problemei generale
x (1) =
1
11
x (1) =
, 25
11
84 47
, 0, 0, 0, , , (min)f(x) =−
11 11
47
11 ,
1 25
, , 0, 0 , (min)f(x) =−
11 11 47
11 ,
caz în care nu am mai luat în seamă valorile necunoscutelor de compensare.
5.6 Dualitatea în problemele de programare liniară
Plecând de la o problemă de P.L., totdeauna se poate formula o nouă problemă de
P.L., folosind acelea¸si date numerice ale problemei date, care însă săceară determinarea
valorii optime contrare. Între solut¸iile celor două probleme de P.L. există strânse legături.
Perechea de probleme de P.L. astfel construite respectă un principiu general din
¸stiint¸ă, în particular din matematică, numit principiul dualităt¸ii, iar problemele respective
sunt numite probleme duale (se mai întâlne¸ste ¸si termenul de probleme conjugate) una
alteia. De obicei problema de P.L. init¸ială senume¸ste primală, iar cea obt¸inută prin dualitate
se nume¸ste duală.
Not¸iunea de dualitate în problemele de P.L. are, pe lângă însemnătatea teoretică, ¸si
o mare important¸ă practică, deoarece, fiind date două probleme duale, există posiblitatea
alegerii pentru rezolvare a problemei mai convenabile din punct de vedere calculatoriu.
Mai exact, tabelul simplex, ce cont¸ine solut¸ia optimă a unei probleme, cuprinde solut¸ia
optimă a problemei duale, componentele acestei solut¸ii se află pe linia diferent¸elor Δj ale
acestui tabel, în dreptul vectorilor (necunoscutelor) de compensare corespunzător problemei
duale. În caz că avem mai put¸in de m vectori (necunoscute de compensare) se adaugă vectori
unitari ej în completare (numit¸i vectori ajutători sau artificiali), cu coeficient¸i zero pe linia
lui c.
Definit¸ia 5.6.1 Spunem că într-o problemă de P.L. avem o restrict¸ie concordantă dacă ea
cont¸ine semnul ”≥” într-o problemă de minim ¸si, respectiv, semnul ”≤” într-o problemă
de maxim.
Definit¸ia 5.6.2 Spunem că într-o problemă P.L. avem o restrict¸ie neconcordantă dacă ea
cont¸ine semnul ”≤” într-o problemă de minim ¸si, respectiv, semnul ”≥” într-o problemă
de maxim.
Prin urmare, într-o problemă de P.L. avem următoarele categorii de restrict¸ii: concordante,
neconcordante ¸si egalităt¸i.
Pentru a cuprinde toate situat¸iile posibile vom considera că ¸si pentru necunoscute
(variabile) putem avea următoarele categorii: nenegative, (xj ≥ 0), nepozitive (xj ≤ 0) ¸si
libere (xj ∈ R).
85