matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Teorema 8.2.4 (Principiul contract¸iei). Orice contract¸ie a unui spat¸iu metric complet în el
însu¸si admite un singur punct fix.
Demonstrat¸ie. Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si f : X → X o contract¸ie a sa.
Unicitatea punctului fix. Să admitemcăarexistadouă puncte fixe x ¸si y din X, cu
x = y, a¸sa încât f(x) =x ¸si f(y) =y. Atunci
d(x, y) =d(f(x),f(y)) ≤ αd((x, y),α∈ [0, 1),
de unde
(1 − α)d(x, y) ≤ 0.
Cum d(x, y) > 0 ¸si (1 − α) > 0, avem o contradict¸ie. Prin urmare, presupunerea noastră
este falsă, deci există un singur punct fix.
Existent¸a punctului fix. Să considerăm x0 ∈ X un punct arbitrar ¸si să definim recurent
¸sirul (xn) prin x1 = f(x0), x2 = f(x1), ..., xn+1 = f(xn), ....
Vom arăta că ¸sirul (xn) este un ¸sir fundamental.
Avem
d(x2,x1) =d(f(x1),f(x0)) ≤ αd(x1,x0),
d(x3,x2) =d(f(x2),f(x1)) ≤ αd(x2,x1) ≤ α 2 d(x1,x0).
Prin induct¸ie matematică deducem că
(8.5)
(8.6)
d(xn+1,xn) ≤ α n d(x1,x0), pentru orice n ∈ N.
Pentru n, p numere naturale, p = 0, conform cu (8.5), putem scrie
d(xn+p,xn) ≤ d(xn+p,xn+p−1)+d(xn+p−1,xn+p−2)+...+
+d(xn+1,xn) ≤ (α n+p−1 + α n+p−2 + ...+ α n )d(x1,x0) =
n 1 − αp
= α
1 − α d(x1,x0) ≤ αn
1 − α d(x1,x0).
Să luăm d(x1,x0) > 0 (în caz contrar, punctul fix este x0 ¸si demonstrat¸ia existent¸ei
este terminată). Deoarece α ∈ [0, 1), rezultălim n→∞ αn =0, de unde pentru orice ε>0, există
nε ∈ N a¸sa încât, pentru orice n>nε, avem
α n ε(1 − α)
<
d(x1,x0) .
(8.7)
Din (8.6) ¸si (8.7) rezultă că, pentru orice ε>0 ¸si pentru orice p ∈ N∗ ,existănε∈N, a¸sa încât d(xn+p,xn) nε, adică¸sirul (xn) este fundamental.
Cum (X, d) este spat¸iul metric complet, există x ∈ X a¸sa încât lim
n→∞ xn = x. Mai trebuie
arătat că x este punct fix.
Într–adevăr, putem scrie
d(f(x),x) ≤ d(f(x),xn+1)+d(xn+1,x)=d(f(x),f(xn))+
+d(xn+1,x) ≤ αd(x, xn)+d(xn+1,x).
De aici, folosind că lim
n→∞ d(x, xn) =0, lim
n→∞ d(xn+1,x)=0¸si t¸inând cont de criteriul majorării
pentru ¸siruri reale, deducem că d(f(x),x)=0,adică f(x) =x.
Demonstrat¸ia teoremei lui Banach de punct fix ne arată nu numai existent¸a ¸si unicitatea
punctului fix, ci ¸si o metodă de aflare a punctului fix x ¸si de asemenea, punerea
în evident¸ă a unei formule pentru evaloarea erorii ce se comite considerând respectiva
aproximat¸ie.
Într–adevăr, deoarece
d(xn,x) ≤ d(xn,xn+p)+d(xn+p,x) ≤ αn
1 − α d(x1,x0)+d(xn+p,x),
163