matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

y
1 A(1, 1)
0
y=x
y=x 2
1
Fig. 13.4.2
D este regulat în raport cu axa Oy ¸si avem
Atunci putem scrie succesiv:
=
1
0
D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ x}.
=
I =
1
0
1
0
x
x
dx (3x − y +2)dy =
x 2
3xy − y2
2 +2y
x
x 2
dx =
3x 2 − x2
2 +2x− 3x3 + x4
− 2x2 dx =
2
=
1
0
x 4
2 − 3x3 + x2
2 +2x
dx = 31
60 .
Observat¸ia 13.4.1 Dacă avem de calculat o integrală dublă pe un domeniu arbitrar, atunci
încercăm să găsim o partit¸ie a sa în domenii regulate ¸si apoi aplicăm proprietatea de
aditivitate fat¸ă de domeniu.
Ca ¸si în cazul integralelor Riemann, calculul unor integrale duble se poate face cu o
schimbare de variabile.
Se demonstrează ([2], [3]) că are loc următoarea teoremă de schimbare de variabile:
Teorema 13.4.10 Fie f : D ⊂ R2 → R o funct¸ieintegrabilă pe D ¸si fie transformare x =
ϕ(u, v), y = ψ(u, v) a domeniului Δ ⊂ R2 în domeniul D. Dacăfunct¸iile ϕ ¸si ψ au derivate
part¸iale de ordinul întâi continue pe domeniul Δ, iar determinantul funct¸ional (jacobianul
transformării)
D(x, y)
J =
D(u, v) =
∂ϕ(u, v) ∂ϕ(u, v)
∂u ∂v
= 0,
∂ψ(u, v) ∂ψ(u, v)
∂u ∂v
atunci are loc formula de schimbare de variabile în integrala dublă
D
f(x, y)dxdy =
Δ
294
f(ϕ(u, v),ψ(u, v))|J|dudv.