matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Pentru funct¸iile omogene este valabil următorul rezultat:
Teorema 12.3.1 Pentru ca funct¸ia f(x1,x2,...,xn) să fie omogenă de gradul k este necesar
¸si suficient să avem identitatea
x1f ′ x1 (x1,x2,...,xn)+x2f ′ x2 (x1,...,xn)+...+
+xnf ′ xn (x1,...,xn) =kf(x1,x2,...,xn),
numită identitatea lui Euler.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Funct¸ia f fiind omogenă de gradul k satisface (12.4). Membrul
întâi al acestei relat¸ii este o funct¸ie compusă det. Derivând ambii membrii în raport cu t,
avem egalitatea
n
care este adevărată ¸si pentru t =1,adică
xif
i=1
′ txi (tx1,...,txn) =kt k−1 f(x1,...,xn)
n
xif ′ xi (x1,...,xn) =kf(x1,...,xn),
i=1
care este tocmai indetitatea lui Euler.
Suficient¸a. Considerăm funct¸ia auxiliară
F (t) = f(tx1,...,txn)
tk ,
¸si să presupunem că f satisface identitatea lui Euler.
t = 0
Avem
F ′ t
(t) =
k
n
xif
i=1
′ xi (tx1,...,txn) − kt k−1 f(tx1,...,txn)
t2k =
n
t xif
=
i=1
′ xi (tx1,...,txn) − kf(tx1,...,txn))
tk+1 =0
pentru orice t = 0.
Rezultă căF (t) este o funct¸ie constantă.
f(x1,...,xn). Atunci
Valoarea constantei este dată de F (1) =
F (t) = f(tx1,...,txn)
tk = f(x1,...,xn),
de unde
f(tx1,...,txn) =t k f(x1,...,xn),
adică funct¸ia f este omogenă de gradul k.
Aplicat¸ia 12.3.2. Formula lui Taylor. O altă aplicat¸ie a derivării funct¸iilor compuse este
extinderea formulei lui Taylor la funct¸iile de mai multe varaibile reale.
Teorema 12.3.2 (Taylor.) Fie funct¸ia f : D ⊂ R2 → R ¸si punctul interior M(a1,a2) ∈ D.
Dacă funct¸ia f are derivate part¸iale până laordinuln +1, n ∈ N, într-o vecinătate V (M) a
lui M, atunci există punctul P (ξ,η) ∈ V (M) a¸sa încât să aibălocformula n
1
f(x, y) = (x − a1)
k!
∂
(k)
∂
+(y − a2) f(a1,a2)+
∂x ∂y
k=0
1
+ (x − a1)
(n + 1)!
∂
(n+1)
∂
+(y − a2) f(ξ,η),
∂x ∂y
oricare ar fi (x, y) ∈ V (M), numităformula lui Taylor
245