matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

1) un punct x ∈ X este aderent mult¸imii A dacă ¸si numai dacă există un ¸sir (xn) de
puncte din A astfel ca lim
n→∞ xn = x (în X).
2) Un punct x ∈ X este punct de acumulare al mult¸imii A dacă ¸si numai dacă există un
¸sir (xn) de puncte din A astfel încât xn = x, pentru orice n ∈ N, ¸si lim
n→∞ xn = x (în X).
Demonstrat¸ie. 1) Să presupunem că x ∈ A, adicăeste punct aderent pentru A. Atunci,
pentru orice n ∈ N∗
, sfera deschisă S x, 1
are puncte comune cu A. Alegem câte un punct
n
xr ∈ A ∩ S x, 1
, pentru orice n ∈ N
n
∗ . Obt¸inem, astfel, ¸sirul de puncte (xn) din A cu
d (xn,x) < 1
n ,pentruoricen∈N∗ . Din d(xn,x) < 1
rezultă lim
n n→∞ d(xn,x)=0, ceea ce ne arată
că lim
n→∞ xn = x (în X).
Reciproc, dacă (xn) este un ¸sir de puncte din A, astfel încât lim
n→∞ xn = x (în X), atunci,
pentru orice ε>0, existăunnε∈ N astfel încât xn ∈ S(x, ε) de îndată cen>nε. Rezultăcă
pentru orice ε>0 avem S(x, ε) ∩ A = Φ, ceea ce ne asigură căx ∈ A.
2) Demonstrat¸ia se face în acela¸si mod ca la punctul 1), utilizând definit¸ia punctului
de acumulare.
Definit¸ia 10.1.17 Spat¸iul metric (X, d) se nume¸ste compact, dacă orice ¸sir din X cont¸ine un
sub¸sir convergent.
Definit¸ia 10.1.18 Mult¸imea A din spat¸iul metric (X, d) este compactă, dacă orice ¸sir (an)
din A cont¸ine un sub¸sir convergent către un punct x0 din A.
Altfel spus, mult¸imea A din (X, d) este compactă dacă ¸si numai dacă spat¸iul metric
(A, d) este compact.
Exemplul 10.1.25. Mult¸imea A =[a, b] ⊂ R, a