matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Folosind proprietatea de aditivitate a integralei duble fat¸ă de domeniu (Teorema 13.4.2),
putem scrie
(13.4)
deoarece
Δ − D
D
g(x, y)dxdy =0.
D
g(x, y)dxdy =
g(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy =
Δ − D
=
D
f(x, y)dxdy,
Dar, integrala g(x, y)dxdy se poate calcula folosind ¸si formula din Teorema 13.4.8.
D
Avem
b
d
g(x, y)dxdy = g(x, y)dxdy =
D
a c
⎛
b
d
b
ϕ(x)
⎜
= dx g(x, y)dy = dx ⎝ g(x, y)dy+
(13.5)
deoarece
a
ϕ(x)
c
+
c
ψ(x)
ϕ(x)
g(x, y)+
=
b
a
dx
a
d
ψ(x)
ψ(x)
ϕ(x)
g(x, y)dy =0 ¸si
c
⎞
⎟
g(x, y)dy⎠
=
f(x, y)dy
d
ψ(x)
g(x, y)dy =0.
Din (13.4) ¸si (13.5) rezultă formula din enunt¸ul Teoremei 13.4.9.
Dacă domeniul D este regulat în raport cu axa Ox, adică el are forma D =
{(x, y) c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)} atunci avem formula
D
f(x, y)dxdy =
Exemplul 13.4.2. Să calculăm integrala dublă
I =
D
d
c
dy
ψ(y)
ϕ(y)
(3x − y +2)dxdy
f(x, y)dx.
dacă D este domeniul mărginit de curbele y = x ¸si y = x 2 .
Examinăm domeniul D (Fig. 13.4.2) ¸si observăm că elestesituatîntre dreapta y = x ¸si
parabola y = x 2 ¸si punctele O(◦, ◦) ¸si A(1, 1).
293