matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu
matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu
matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Observat¸ia 7.2.1 Toate cele trei solut¸ii init¸iale găsite pentru problema de transport <strong>din</strong> Exemplul<br />
7.2.1. sunt solut¸ii de bază nedegenerate, având 4+3− 1=6 componente pozitive.<br />
7.3 Ameliorarea (îmbunătăt¸irea) unei solut¸ii<br />
Pentru a elabora un mod de ameliorare a unei solut¸ii corespunzătoare unei probleme<br />
de transport, adică de a trece de la o solut¸ie de bază la una mai bună, vom recurge la<br />
problema duală.<br />
Problema de transport are modelul matematic dat de (7.1), §7.1. Pentru a scrie duala<br />
trebuie să introducem variabilele duale u1,u2,...,um, corespunzătoare primelor m restrict¸ii,<br />
¸si v1,v2,...,vn corespunzătoare următoarelor n restrict¸ii. Obt¸inem<br />
(7.2)<br />
(x (0)<br />
ij<br />
(7.3)<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
u1 + v1 ≤ c11, u1 + v2 ≤ c12, ..., u1 + vn ≤ c1n,<br />
u2 + v1 ≤ c21, u2 + v2 ≤ c22 ..., u2 + vn ≤ c2n,<br />
... ... ... ...<br />
um + v1 ≤ cm1, um + v2 ≤ cm2 ..., um + vn ≤ cmn,<br />
ui,i= 1,m, vj,j = 1,n, arbitrare<br />
(max)g = a1u1 + a2u2 + ...+ amum + b1v1 + b2v2 + ...+ bnvn.<br />
Teoremele de dualitate (v. Teoremele 5.6.1 ¸si 5.6.2) ne asigură căosolut¸ie X (0) =<br />
este optimă dacăvariabilele duale verifică restrict¸iile<br />
) i=1,m<br />
j=1,n<br />
ui + vj = cij, dacă x (0)<br />
ij = 0(x (0)<br />
ij este necunoscuta principală)<br />
ui + vj ≤ cij, dacă x (0)<br />
ij =0(x(0) ij este necunoscuta secundară)<br />
(7.4)<br />
numite condit¸ii de optimalitate pentru solut¸ia unei probleme de transport.<br />
Fie X =(xij) i=1,m osolut¸ie init¸ială a problemei de transport.<br />
j=1,n<br />
Căsut¸ele <strong>din</strong> tabelul solut¸iei cu xij = 0le numim căsut¸e ocupate, iar cele cu xij =0le<br />
numim căsut¸e libere.<br />
Relat¸iile (7.3) formează un sistem liniar de m+n−1 ecuat¸ii (corespunzătoare căsut¸elor<br />
ocupate) cu m + n necunoscute. Se observă căacest sistem este compatibil nedeterminat.<br />
Pentru aflarea unei solut¸ii putem lua o necunoscută secundară egalăcu0, deobiceivom<br />
alege u1 =0.<br />
Valorile găsite pentru u1,u2,...,um ¸si v1,v2,...,vn se trec pe marginea tabelului solut¸ie<br />
<strong>în</strong> mod corespunzător (de aceea se mai numesc ¸si valori marginale), iar sumele ui + vj se<br />
scriu <strong>în</strong> colt¸ul<strong>din</strong>dreaptasusalcăsut¸elor ocupate, alături de coeficient¸ii cij, adicăstructura unei astfel de căsut¸e ocupate arată astfel<br />
cij ui + vj<br />
Acum verificăm condit¸iile de optimalitate (7.4) pentru căsut¸ele libere. Dacă toate<br />
condit¸iile (7.4) sunt <strong>în</strong>deplinite, atunci solut¸ia init¸ială este optimă. Dacă cel put¸in o<br />
condit¸ie (7.4) nu este verificată, atunci se trece la procesul de ameliorare (îmbunătăt¸ire) a<br />
solut¸iei.<br />
Definit¸ia 7.3.1 Numim ciclu corespunzător unei căsut¸e libere o succesiune de căsut¸e ocupate,<br />
două câte două alăturate pe aceea¸si linie, sau respectiv pe aceea¸si coloană, cu treceri<br />
alternative pe linii ¸si coloane, succesiunea <strong>în</strong>cepând imediat după căsut¸a liberă ¸si terminându-se<br />
<strong>în</strong> vecinătatea aceleia¸si căsut¸e libere.<br />
Într-un ciclu marcăm alternativ cu + ¸si − căsut¸ele, <strong>în</strong>cepând cu căsut¸a liberă. Semnele<br />
se trec <strong>în</strong> colt¸ul <strong>din</strong> stânga jos al căsut¸ei.<br />
135<br />
xij
Change language