matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Teorema 2.2.3 Mult¸imea vectorilor din spat¸iu vectorial V care se pot scrie ca ¸si combinat¸ii liniare de
vectorii sistemului S formează unsubspat¸iu vectorial al lui V . Acest subspat¸iu se notează prin [S] ¸si se
nume¸ste subspat¸iul lui V generat de sistemul de vectori S.
Demonstrat¸ie. Într-adevăr, dacă x =
αx + βy =
n
akx (k) ¸si y =
k=1
n
αakx (k) +
k=1
n
bkx (k) , atunci, pentru orice α, β ∈ K, avem
k=1
n
βbkx (k) =
k=1
n
(αak + βbk)x (k) ,
k=1
adică αx + βy este o combinat¸ie liniară de vectori a sistemului S.
Teorema 2.2.4 Subspat¸iul [S] generat de sistemul de vectori S coincide cu acoperirea liniară aluiS.
Demonstrat¸ie. Fie S ∗ acoperirea liniară aluiS. AvemS ⊆ [S] ¸si din definit¸ia lui S ∗ rezultă S ∗ ⊆ [S].
Reciproc, dacă x ∈ [S], atunci rezultă că x =
[S] ⊆ S ∗ . Rezultă că S ∗ =[S].
n
akx (k) , a1,a2,...,an ∈ K. Prin urmare, x ∈ S∗ , adică
k=1
Definit¸ia 2.2.2 Un sistem de vectori S ⊂ V se nume¸ste sistem de generatori pentru subspat¸iul W ⋐ V
dacă W =[S].
Exemplul 2.2.4. În spat¸iul Rn un sistem de generatori pentru R n este format din vectorii: e (1) =
(1, 0, 0,...,0), e (2) =(0, 1, 0,...,0), ..., e (n) =(0, 0,...,0, 1). În adevăr, orice x =(x1,x2,...,xn) ∈ R n
se scrie sub forma x = x1e (1) + x2e (2) + ...+ xne (n) .
Definit¸ia 2.2.3 Dacă W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii ale spat¸iului vectorial V , atunci subspat¸iul generat de
S = W1 ∪ W2 se nume¸ste suma celor două subspat¸ii. Notăm [S] =W1 + W2.
Teorema 2.2.5 Suma W1 + W2 a două subspat¸ii vectoriale ale lui V coincide cu mult¸imea vectorilor
x ∈ V care se scrie sub forma x = x (1) + x (2) ,cux (1) ∈ W1, x (2) ∈ W2.
Demonstrat¸ie. Fie W = {x ∈ V |x = x (1) + x (2) ,x (1) ∈ W1,x (2) ∈ W2}. Evident că W ⊆ W1 + W2.
Dacă x ∈ W1 + W2, atunci x = a1y (1) + ...+ ary (r) + ar+1y (r+1) + ...+ apy (p) , unde y (1) ,...,y (r) ∈ W1,
iar y (r+1) ,...,y (p) ∈ W2. Punând x (1) = a1y (1) + ...+ ary (r) ¸si x (2) = ar+1y (r+1) + ...+ apy (p) ,găsim
x = x (1) + x (2) , deci W1 + W2 ⊆ W . Rezultă W = W1 + W2.
Exemplul 2.2.5. În R2 considerăm W1 = {(x, 0)|x ∈ R} ¸si
W2 = {(0,y)|y ∈ R}. Atunci avem R 2 = W1 + W2.
Definit¸ia 2.2.4 Suma S a două subspat¸ii vectoriale W1 ¸si W2 ale spat¸iului vectorial V se nume¸ste directă,
dacă W1 ∩ W2 = {θ}. În acest caz scriem S = W1 ⊕ W2, iar despre W1 ¸si W2 se zic că suntsubspat¸ii
vectoriale independente.
Teorema 2.2.6 Suma a două subspat¸ii vectoriale W1 ¸si W2 ale spat¸iului vectorial V este directă, dacă
¸si numai dacă orice vector x din S = W1 + W2 se scrie în mod unic sub forma x = x (1) + x (2) , x (1) ∈ W1,
x (2) ∈ W2.
Demonstrat¸ie. Să admitem că S = W1 ⊕ W2 ¸si să presupunem că există x ∈ S a¸sa încât x = x (1) + x (2) ,
x (1) ∈ W1, x (2) ∈ W2 ¸si x = y (1) + y (2) , y (1) ∈ W1, y (2) ∈ W2. Atunci x (1) + x (2) = y (1) + y (2) , de unde
x (1) − y (1) = x (2) − y (2) ∈ W1 ∩ W2 = {θ} ¸si deci x (1) = y (1) ¸si x (2) = y (2) . Rezultă că scrierea lui x ca
sumă de elemente din W1 ¸si W2 este unică.
Reciproc, să admitem că oricex ∈ S = W1 + W2, are o scriere unică de forma x = x (1) + x (2) ,
x (1) ∈ W1, x (2) ∈ W2. Dacăarexistat ∈ W1 ∩W2, t = θ, atunci x =(x (1) −t)+(x (2) −t), cu x (1) −t ∈ W1
¸si x (2) − t ∈ W2, ceea ce ar fi o contradict¸ie. Prin urmare W1 ∩ W2 = {θ}, adică S = W1 ⊕ W2.
Definit¸ia 2.2.5 Două subspat¸ii W1 ¸si W2 ale spat¸iului vectorial V se numesc suplimentare dacă W1 ∩
W2 = {θ} ¸si V = W1 ⊕ W2.
15