matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Dacă punem A =(aij) ∈M n 2(K), care pentru formele pătratice este o matrice simetrică,
obt¸inem expresia matriceală pentru forma pătratică:
unde x = t (x1,...,xn) ∈ X.
g(x) = t xAx,
Definit¸ia 4.3.2 Dacăîn expresia analitică (4.16) a formei pătratice g, tot¸i coeficient¸ii aij cu
i = j sunt nuli, atunci se spune că reprezentarea formei pătratice este sub formă canonică .
Teorema 4.3.1 (Gauss). Expresia analitică a oricărei forme pătratice pe un spat¸iu vectorial
X peste K, dim X = n, poate fi adusă printr-o schimbare de bază, la forma canonică.
Demonstrat¸ie. Vom demonstra această teoremă prin induct¸ie matematică după numărul k
al variabilelor ce apar în expresia analitică aformeipătratice.
Evident că pentru k = 1 avem g(x) = a11x2 1, care este scrisă sub forma canonică.
Presupunem teorema valabilă pentru k − 1 variabile ¸si o demonstrăm pentru k. Fără a
restrânge generalitatea presupunem că a11 = 0(în caz contrar renumerotăm variabilele, iar
dacă tot¸i a11 =0, i = 1,n, atunci într-un produs xixj facem schimbarea de variabile xi = yi−yj,
xj = yi + yj). Acum, scriem expresia analitică (4.16) a formei pătratice astfel
g(x) = 1
⎡
⎣a 2 11x 2 ⎤
n
n
1 +2
⎦ + aijxixj =
a11
j=2
a11a1jx1xj
= 1
noii coeficient¸i bij
perfect.
n
2 n
a1jxj + bijxixj,
a11
i=1
i,j=2
rezultă din reducerea termenilor asemenea după formarea pătratului
Făcând schimbarea de variabile
n
y1 = a1jxj, yk = xk, k = 2,n
obt¸inem
unde
j=1
g(x) = 1
h(y) =
y
a11
2 1 + h(y),
n
n
i=1 j=2
bijyiyj
nu depinde de x1, deciîn expresia ei analitică avemdoark − 1 variabile. Folosind ipoteza
induct¸iei, există obază (o schimbare de coordonate) a spat¸iului X în care
Atunci
h(y) =λ2y 2 2 + ...+ λmy 2 m.
i,j=2
g(x) =λ1y 2 1 + ...+ λmy 2 m, λ1 =1/a11.
Teorema este demonstrată. Demonstrat¸ia teoremei ne oferă ¸si un procedeu practic
de a scrie o formă pătratică sub forma canonică numitămetodaluiGauss. Astfel,maiîntâi
se formează unpătrat perfect cu termeni care cont¸in pe x1, apoicutermeniicecont¸in pe
x2 ¸s.a.m.d.
Exemplul 4.3.1. Să reducem la forma canonică formapătratică g : R 3 → R, g(x) =2x 2 1 +x1x2 +
63