matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

i) F (a1,a2) =0
ii) F, F ′ x, F ′ y sunt continue pe o vecinătate U × V a lui (a1,a2),
U × V ⊂ A × B;
iii) F ′ y(a1,a2) = 0,atunci
1) există o vecinătate U0 ⊆ U a lui a1, o vecinătate V0 ⊆ V a lui a2 ¸si o funct¸ie unică
f : U0 → V0, y = f(x), astfelîncât f(a1) =a2 ¸si F (x, f(x)) = 0 pentru x ∈ U0;
2) funct¸ia f are derivata continuă peU0 dată de formula
f ′ (x) =− F ′ x(x, y)
F ′ y(x, y) ;
3) dacă F are derivate part¸iale de ordinul k continue pe U × V , atunci f are derivate de
ordinul k continuă peU0.
Nu prezentă demonstrat¸ia riguroasă a acestei teoreme de existent¸ă. Însă dăm modalitatea
practică deobt¸inere a derivatei f ′ . În acest scop , considerăm în ecuat¸ia F (x, y) =0pe
y = f(x) ¸si derivăm în raport cu x utilizând regula de derivare a funct¸iilor compuse. Avem
de unde
F ′ x + F ′ y · y ′ (x) =0,
y ′ (x) =f ′ (x) =− F ′ x
F ′ .
y
Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale funct¸iei f se procedează în mod analog.
Exemplul 12.3.3. Ecuat¸ia x3 +3xy+y3 =1define¸ste pe y ca funct¸ie de x, pentru (x, y) ∈ D ⊂ R2 .
Să se calculeze y ′ ,y ′′ ,y ′ (1) ¸si y ′′ (1).
Derivăm în raport cu x în ecuat¸ia care define¸stepeycafunct¸iedex¸si avem
De aici, pentru x + y 2 =0,obt¸inem
(12.6)
Pentru a calcula pe y ′′ procedăm astfel:
x 2 + y + xy ′ + y 2 y ′ =0.
y ′ = − x2 + y
.
x + y2 y ′′ = − (2x + y′ )(x + y 2 ) − (x 2 + y)(1 + 2yy ′ )
(x + y 2 ) 2
= − x2 − y + xy ′ − 2x2yy ′ − y2y ′ +2xy2 (x + y2 ) 2
.
Acum, înlocuim cu y ′ cu expresia din (12.6) ¸si obt¸inem
(12.7)
Pentru x= 1 din ecuat¸ia dată avem
y ′′ = − 6x2y2 − 2xy +2xy4 +2x4y (x + y2 ) 2 .
1+3y(1) + (y(1)) 3 =1,
de unde y(1)= 0. Atunci, din (12.6) ¸si (12.7) obt¸inem y ′ (1) = −1 ¸si y ′′ (1) = 0
248
=