matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

T¸inând seama de expresiile (4.5) care definesc matricea A1 a transformării liniare T
în baza B1 = {f (1) ,...,f (n) } obt¸inem:
Teorema 4.1.3 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca matricea transformării liniare T ∈
L(X, X), dim X = n, să poată fi adusă la forma diagonală (4.6) este să existe o bază
B1 = {f (1) ,f (2) ,...,f (n) } în X ¸si n elemente λ1,λ2,...,λn ∈ K astfel încât să avem
(4.7)
T (f (i) )=λif (i) , i = 1,n.
Definit¸ia 4.1.3 Se spune că vectorul x = θ, x ∈ X, este un vector caracteristic sau propriu
pentru operatorul liniar T ∈ L(X, X) dacă există un element λ ∈ K astfel încât să avem
(4.8)
T (x) =λx.
Elementul λ corespunzător vectorului propriu x se nume¸ste atunci valoare caracteristică
sau proprie pentru transformarea liniară T .
În conformitate cu această definit¸ie, matricea unei transformări liniare poate fi
adusă la o formă diagonală dacă¸si numai dacă transformarea are n vectori proprii liniar
independent¸i. În acest caz, elementele de pe diagonala principală din matricea diagonală
sunt atunci valorile proprii corespunzătoare.
În cele ce urmează ne vom ocupa cu determinarea valorilor proprii ¸si vectorilor proprii
pentru un operator liniar T din L(X, X), cudim X = n.
Fie B = {e (1) ,e (2) ,...,e (n) } obază în X, A =(aij) ∈M n 2(K) matricea asociată luiT , I
matricea unitate de ordin n ¸si t x =(x1,...,xn) coordonatele unui vector x ∈ V în baza B;
atunci ecuat¸ia (4.8) se poate scrie sub forma matriceală
(4.9)
(4.10)
(A − λI)x =0.
Această ecuat¸ieesteechivalentă cu sistemul
(a11 − λ)x1 + a12x2 + ...+ a1nxn =0
a21x1 +(a22 − λ)x2 + ...+ a2nxn =0
.................................
an1x1 + an2x2 + ...+(ann − λ)xn =0
Sistemul (4.10) fiind liniar ¸si omogen, admite solut¸ii diferite de solut¸ia banală dacă¸si
numai dacă determinantul matricei sistemului este egal cu zero.
Acest determinant se notează cuPA(λ) ¸si are forma
a11 − λ a12 ... a1n
PA(λ) = det(A − λI) =
a21 a22 − λ ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann − λ
numit polinomul caracteristic ata¸sat transformării liniare T sau matricei A.
Prin urmare valorile caracteristice ale matricei A sau transformări liniare T se găsesc
printre rădăcinile ecuat¸iei
(4.11)
PA(λ) =0,
numită ecuat¸ia caracteristică corespunzătoare matricei A sau transformării liniare T . S¸irul
λ1,λ2,...,λn al tuturor rădăcinilor ecuat¸iei caracteristice, unde fiecare este socotită deatâtea
ori cât indică ordinul său de multiplicitate, constituie spectrul matricei A sau a operatorului
liniar T .
Polinomul caracteristic are gradul n ¸si se poate scrie dezvoltat sub forma:
PA(λ) =(−1) n λ n +(−1) n−1 δ1λ n−1 +(−1) n−2 δ2λn−2 + ...+(−1)δn−1λ + δn,
58