matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Fig.12.6.1.
x 2 + y 2 = a 2 .
Notând cu x, y coordonatele unui vârf al dreptunghiului, t¸inând seama de simetria figurii,
aria dreptunghiului înscris este z =4xy
Problema propusă seformulează astfel: să se afle extremele funct¸iei z =4xy, x > 0, y>0,
cu condit¸ia x 2 + y 2 = a 2 .
Utilizăm metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Considerăm funct¸ia auxiliară
¸si formăm sistemul ⎧
⎨
⎩
L(x, y) =4xy + λ(x 2 + y 2 − a 2 )
L ′ x =4y +2λx =0
L ′ y =4x +2λy =0
x 2 + y 2 = a 2
Sistemul are solut¸ia
λ = −2, x = y = a√2 2
Pentru a preciza natura punctului stat¸ionar condit¸ionat
diferent¸ialei a doua a funct¸iei auxiliare.
Avem
d 2 L = L ′′
x 2dx2 +2L ′′
xydxdy + L ′′
y 2dy2 =
=2λdx 2 +8dxdy +2λdy 2
¸si
d 2
a
L
√ 2
2 , a√
2
= −4(dx
2
2 − 2dxdy + dy 2 )
Diferent¸iind relat¸ia de legătură avem
2xdx +2ydy =0,
259
√
a 2
2 , a√
2
2
cercetăm semnul