matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

y =(y1,y2 ∈ R 2 ),sunt date, repectiv, în figurile 10.1.1. ¸si 10.1.2.
Fig.10.1.1. Fig.10.1.2.
Exemplul 10.1.3. Pentru X = R 2 ¸si d(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}, dacă x =(x1,x2),
y =(y1,y2), sfera deschisă derază r ¸si centru x0 =(a, b) ∈ R 2 este trasată în figura 10.1.4.,
iar sfera închisă de aceea¸si rază ¸si acela¸si centru este trasată în figura 10.1.3.
Fig.10.1.3. Fig.10.1.4.
Exemplul 10.1.4. Dacă X = R 3 ¸si d(x, y) = (x1 − y1) 2 +(x2 − y2) 2 +(x3 − y3) 2 , unde x =
(x1,x2,x3), y =(y1,y2,y3), atunci sfera deschisă S(x0,r) coincide cu interiorul sferei cu centrul
în x0 =(a, b, c) ¸si de rază r, iarsferaînchisă S(x0,r) coincide cu mult¸imea punctelor din R 3
aflate în interiorul sferei sau pe sfera de rază r ¸si centru x0.
Definit¸ia 10.1.2 Fie spat¸iul metric (X, d) ¸si x0 un punct arbitrar din X. Numim vecinătate
a punctului x0 omult¸ime V (x0) aspat¸iului X pentru care există o sferă deschisă centrată
în x0, cont¸inută în V .
Altfel spus, V (x0) este vecinătate a lui x0 dacă există r>0 a¸sa încât S(x0,r) ⊂ V (x0).
Propozit¸ia 10.1.1 Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si x0 un punct arbitrar din X. Sunt valabile
următoarele proprietăt¸i:
1) dacă V (x0) este o vecinătate a punctului x0, atunci orice supramult¸ime a sa, V ,este,
de asemenea vecinătate a punctului x0;
2) dacă V1(x0) ¸si V2(x0) sunt două vecinătăt¸i ale punctului x0, atunciV1(x0) ∩ V2(x0) este
vecinătate a punctului x0;
3) dacă V (x1) este o vecinătate a punctului x0 atunci x0 ∈ V (x0);
4) dacă V (x0) este o vecinătate a punctului x0, atunci există o vecinătate W (x0) apunctului
x0 astfel ca pentru orice y ∈ W (x0) mult¸imea V (x0) să fie vecinătate a punctului
y.
191