matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Corolarul 8.2.2 Spat¸iile R m sunt complete.
Valabilitatea corolarului rezultă din Observat¸ia 8.2.3 ¸si din faptul că spat¸iul R este
complet (Exemplul 8.2.2).
Definit¸ia 8.2.8 În spat¸iul metric (X, d), o funct¸ie f : X → X se nume¸ste contract¸ie, dacă
există α ∈ [0, 1) a¸sa încât, oricare ar fi x, y ∈ X avem
(8.4)
d(f(x),f(y)) ≤ αd(x, y).
Exemplul 8.2.4. Fie X = Rm cu metrica euclidiană
d(x, y) = m
(xi − yi) 2 ,
i=1
unde x =(x1,x2,...,xm) ∈ X, y =(y1,y2,...,ym) ∈ X. Considerăm aplicat¸ia f : X → X dfinită
prin f(x) =(αx1,αx2,...,αxm), α ∈ [0, 1). Avem
d(f(x),f(y)) = m
(αxi − αyi) 2
= α
m
(xi − yi) 2 = αd(x, y),
i=1
pentru orice x, y ∈ X, adică (8.4) este verificată pentru α ∈ [0, 1), ceea ce ne arată că f este
o contract¸ie.
Exemplul 8.2.5. Funct¸ia f : R → R, definită prin
f(x) = a
x2 + b , a > 0, b > 0, a < b√b este o contract¸ie a spat¸iului metric (R, ||).
În adevăr, pentru orice x, y ∈ R, avem
d(f(x),f(y)) = |f(x) − f(y) =
a
x2
a
−
+ b y2
+ b
=
i=1
a|x + y|
(x2 + b)(y2 d(x, y).
+ b)
Cum |t| ≤(t 2 + b)/2 √ b,pentruoricet ∈ R, putem scrie
|x + y| ≤|x| + |y| ≤ x2 + b
2 √ b + y2 + b
2 √ 1
=
b 2 √ b (x2 + y 2 +2b) ≤
≤ 1
2 √ 2
b b (x2 + b)(y 2 + b) = 1
b √ b (x2 + b)(y 2 + b)
Atunci
d(f(x),f(y)) ≤ a
b √ d(x, y),
b
cu α = a/b √ b ∈ [0, 1), ceea ce ne arată că f este o contract¸ie a spat¸iului metric R.
Numeroase probleme practice conduc la rezolvarea unei relat¸ii de forma f(x) =x,
unde f esteoaplicat¸ieaunui spat¸iu metric X în el însă¸si. Un astfel de punct x ∈ X pentru
care f(x) =x se nume¸ste punct fix al funct¸iei f.
Astfel, dacă f este aplicat¸ia identică aunuispat¸iu metric în el însu¸si, adică f(x) =x,
pentru orice x ∈ X, atunci toate punctele lui X sunt puncte fixe.
În continuare vom prezenta un rezultat fundamental al Analizei Matematice, cu multe
aplicat¸ii în matematică ¸si ¸stiint¸ele practice, numit principiul contract¸iei sau teorema de
punct fix a lui Banach care asigură, în anumite condit¸ii, existent¸a ¸si unicitatea unui punct
fix.
162