matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

4.4 Testul Nr. 3 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Transformare liniară;
b) Formă liniară;
c) Nucleul unui operator liniar;
d) Vector caracteristic;
e) Formă biliniară;
f) Formăpătratică;
g) Forma canonică a unei forme pătratice;
h) Signatura formei pătratice.
2. Arătat¸i că următoarea aplicat¸ie este o transformare liniară: f : R 3 → R 2 , f(x1,x2,x3) =
(2x1 + x2, 4x3).
3. Fie aplicat¸iile f : R 2 → R 2 , f(x1,x2) =(2x1 −x2, 3x2) ¸si g : R 2 → R 2 , g(x1,x2) =(x2 −x1, 4x1).
Arătat¸i că f ¸si g sunt operatori liniari, apoi determinat¸i f ◦ g ¸si g ◦ f ¸si verificat¸i că sunt
operatori liniari.
4. Fie transformarea liniară f : R3 → R3care în baza canonică estedatădematricea ⎛
5 −3 2
⎞
A = ⎝ 6 −4 4 ⎠ .
4 −4 5
Găsit¸i valorile ¸si vectorii caracteristici ata¸sat¸i transformării.
5. Fie transformarea liniară T : R3 → R3cu exprimarea în baza B dată de matricea
⎛
7
A = ⎝ 10
−12
−19
6
10
⎞
⎠ .
12 −24 13
Arătat¸i că există o bază B ′ în R 3 fat¸ă de care matricea transformării T are forma
diagonală.
6. Diagonalizat¸i matricea
⎛
A = ⎝
4 −2 2
−5 7 −5
−6 6 −4
7. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Gauss, forma pătratică:
⎞
⎠ .
f(x) =x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 2x 2 4 − 2x1x2 +2x1x3 − 2x1x4 +2x2x3 − 4x2x4.
8. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Gauss, forma pătratică:
f(x) =x1x2 +3x1x3 +5x2x3.
9. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Jacobi, forma pătratică:
f(x) =x 2 1 +2x 2 2 +3x 2 3 +3x 2 4 − 2x2x3 − 2x1x3 +2x1x4 +6x2x4.
10. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Jacobi, forma pătratică:
f(x) =x 2 1 +4x1x2 +2x1x4 +3x 2 2 − 2x2x3 +2x2x4 +2x 2 3 − 4x3x4 − x 2 4.
69