matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

10.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 9
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Funct¸ie între două spat¸ii metrice;
b) Limita unei funct¸ii între două spat¸iimetrice (definit¸ia cu ¸siruri);
c) Funct¸ie continuă într-un punct (f :(X, d1) → (Y,d2) cu (X, d1) ¸si (Y,d2) spat¸ii metrice);
d) Funct¸ie vectorială;
e) Funct¸ie uniform continuă.
2. Să se demonstreze că o funct¸ie f : R → R periodică ¸si care nu este constantă nuare
limită la+∞ ¸si −∞.
3. Calculat¸i L = lim
x→∞ (2x + x) 1
x .
4. a) Fie funct¸ia f : 0, π
→ R,
2
⎧
⎪⎨ x
f(x) =
⎪⎩
2 sin 1
x ,x= 0
sin x
1 ,x=0.
Să se studieze continuitatea funct¸iei f.
b) Se dă funct¸ia f :[a, b] → [a, b] continuă pe[a, b]. Săsearatecă (∃) c ∈ [a, b] astfel
încât f(c) =c.
5. a) Folosind definit¸ia să searatecă:
lim
(x,y)→(1,3) (x2 + xy) =4
b) Arătat¸i cu ajutorul definit¸iei cu ¸siruri că funct¸ia f(x, y) = 2xy
x2 , (x, y) = (0, 0) nu
+ y2 are limită în origine.
6. Arătat¸i cu ajutorul definit¸iei cu ¸siruri că funct¸ia f(x, y) = y2 +2x
y2 − 2x , y2 − 2x = 0nu are
limită în origine.
7. Cercetat¸i limitele iterate ¸si limita globală (dacăeste cazul) în origine pentru funct¸ia:
a) f(x, y) = x − y + x2 + y2 , x + y = 0,
x + y
b) f(x, y) =x sin 1
, y = 0.
y
8. Calculat¸i:
xy
a) L = lim √ ,
(x,y)→(0,0) xy +1− 1
b) L = lim
(x,y)→(0,0)
sin(xy)
.
x
9. Studiat¸i uniform continuitatea funct¸iei:
f(x) =arctg 1+x
1 − x
216
, x ∈ (1, ∞).