matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

More documents

Recommendations

Info

Bibliografia aferentă capitolului: [1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I, Editura ULB, Sibiu, 2001. [2] Cruceanu, V., Elemente de algebră liniară ¸si geometrie, Editura Didactică ¸si pedagogică, Bucure¸sti, 1973. 71
Capitolul 5 Elemente de programare liniară Obiective: Scopul acestui capitol este de a pune la dispozit¸ia student¸ilor (viitorii economi¸sti) a unuia dintre cele mai utile modelări matematice cu aplicat¸ii economice, împreună cu algoritmul de rezolvare al acestui model. Rezumat: În acest capitol se vor prezenta not¸iunile fundamentale legate de programarea matematică cu accent pe programarea liniară ¸si în special a algoritmului simplex pentru rezolvarea problemelor de programare liniară. Cont¸inutul capitolului: 1. Obiectul programării matematice 2. Not¸iuni generale relative la o problemă de programare liniară 3. Algoritmul simplex 4. Cazuri speciale într-o problemă de programare liniară 5. Rezolvarea problemei generale de programare liniară 6. Dualitatea în problemele de programare liniară 7. Test de verificare a cuno¸stint¸elor 8. Bibliografia aferentă capitolului Cuvinte cheie: programare matematică, programare liniară, solut¸ie posibilă, solut¸iedebază, solut¸ie optimă, algoritmul simplex, problema duală. 5.1 Obiectul programării matematice Am văzut în Capitolul I că aplicarea conceptelor matematice în studiul proceselor economice a căpătat o dezvoltare deosebită, prin rezolvarea unui număr tot mai mare de probleme. Astăzi, problemele de product¸ie, de planificare sau de proiectare se cer rezolvate nu la întâmplare, ci a¸sa fel încât solut¸iile obt¸inute să fie corespunzătoare unui anumit scop. De exemplu, realizarea unui proces de product¸ie să sefacă cu cheltuieli cât mai mici ¸si cu venit cât mai mare. Organizarea ¸stiint¸ifică a proceselor economice, în scopul luării unei decizii con¸stiente, în raport cu t¸elurile urmărite ¸si în urma unei analize a corelat¸iilor dintre diferit¸iifactorice intervin, constituie obiectul a ceea ce se nume¸ste programare matematică. În general, problema programării desfă¸surării unor fenomene economice este o problemă complexă ¸si vastă, pentru rezolvarea cărora matematica oferă diverse metode din multitudinea de ramuri, ca: aritmetica, algebra, geometria, analiza matematică, calculul probabilităt¸ilor, analiza funct¸ională, ecuat¸ii diferent¸iale, ecuat¸iiintegrale,etc. Forma generală a unei probleme de programare matematică (v. cap.I, §1.2 ¸si §1.3) cere să se determine valorile variabilelor xj, j = 1,n, astfel încât ele să satisfacă restrict¸iile (5.1) gk(x1,...,xn) ≥ 0, k = 1,m, iar funct¸ia z = f(x1,x2,...,xn), numită funct¸ia obiectiv (scop, eficient¸ă), să iavaloareaoptimă (maximă, respectiv minimă). 72
Page 1 and 2:
UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SI
Page 3 and 4:
6 Elemente de teoria grafurilor 97
Page 5 and 6:
Capitolul 1 Introducere Obiective:
Page 7 and 8:
ce conduce la înlăturarea tratăr
Page 9 and 10:
1.3.3 Problema dietei (nutrit¸iei)
Page 11 and 12:
Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale Obi
Page 13 and 14:
spat¸iul vectorial aritmetic cu n
Page 15 and 16:
Exemplul 2.2.6. Spat¸iul vectorial
Page 17 and 18:
Cum B este bazăîn spat¸iul vecto
Page 19 and 20: Un subspat¸iu W ,cudim W = n − 1
Page 21 and 22: N1. x =0, dacă ¸si numai dacă x
Page 23 and 24: 2.5 Mult¸imi convexe În acest par
Page 25 and 26: Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 27 and 28: Capitolul 3 Matrice. Determinant¸i
Page 29 and 30: Definit¸ia 3.1.9 O matrice pătrat
Page 31 and 32: Schimbând coloana 1 cu coloana 2
Page 33 and 34: Teorema 3.1.3 Condit¸ia necesară
Page 35 and 36: Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm
Page 37 and 38: În încheierea acestui paragraf s
Page 39 and 40: ceea ce trebuia demonstrat. = p k=
Page 41 and 42: Practic se aplică repetat această
Page 43 and 44: obt¸inem 1 X = det (A) A∗ ⎛
Page 45 and 46: extrase din matricea extinsă A, co
Page 47 and 48: unde ⎛ ⎜ Y1 = ⎜ ⎝ α11 α21
Page 49 and 50: 8. Folosind metoda lui Laplace să
Page 51 and 52: Bibliografia aferentă capitolului:
Page 53 and 54: ceea ce trebuia demonstrat. Recipro
Page 55 and 56: unde t x = (x1,...,xn) xi, i = 1,n
Page 57 and 58: T¸inând seama de expresiile (4.5)
Page 59 and 60: Teorema 4.1.4 Dacă vectorii caract
Page 61 and 62: pentru forma biliniară f avem ⎛
Page 63 and 64: x 2 2 +4x1x3 +4x 2 3. Utilizând me
Page 65 and 66: care are o solut¸ie unică deoarec
Page 67 and 68: Corolarul 4.3.1 O formă pătratic
Page 69: Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 73 and 74: în mod statistic. Necunoscutele xj
Page 75 and 76: cu m ≤ n, obt¸inem ⎛ ⎜ (A|b)
Page 77 and 78: Pasul 5. Se scrie solut¸ia optimă
Page 79 and 80: Cum tot¸i Δj ≥ 0. j = 1, 7, rez
Page 81 and 82: = f(x (1) )+M[cj − (c1α1j + c2α
Page 83 and 84: Astfel, pentru o restrict¸ie de fo
Page 85 and 86: Acum, putem da regulile de corespon
Page 87 and 88: a) ambele probleme au solut¸ii opt
Page 89 and 90: Cum b ≤ θ este mai convenabil s
Page 91 and 92: 5.7 Testul Nr. 4 de verificare a cu
Page 93 and 94: Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 95 and 96: Bibliografia aferentă capitolului:
Page 97 and 98: o pereche neordonată (x, y) ∈ Γ
Page 99 and 100: Definit¸ia 6.1.12 Un drum al unui
Page 101 and 102: Matricea booleană ata¸sată grafu
Page 103 and 104: Fig.16 La pasul întâi putem marca
Page 105 and 106: Fig.19 Algoritmul lui Yu Chen. Aces
Page 107 and 108: 6.2.4 Algoritmi pentru aflarea drum
Page 109 and 110: ¸si Fig.23 Scriem matricea latină
Page 111 and 112: unde l(xi,xj) este lungimea arcului
Page 113 and 114: a) durata drumului critic între do
Page 115 and 116: 116
Page 117 and 118: Diagrama Gantt ne descrie în mod i
Page 119 and 120: Exemplul 6.3.2. Pentru fluxul ϕ as
Page 121 and 122:
Fig.6.3.2. Marcăm mai întâi vâr
Page 123 and 124:
Valorile (xi,xj) din tabel au fost
Page 125 and 126:
6. Găsit¸i cu ajutorul algoritmul
Page 127 and 128:
8. Se obt¸ine tabelul final: i j l
Page 129 and 130:
Capitolul 7 Probleme de transport O
Page 131 and 132:
7.2 Determinarea unei solut¸ii ini
Page 133 and 134:
7.2.3 Metoda diferent¸elor maxime
Page 135 and 136:
Pentru îmbunătăt¸irea solut¸ie
Page 137 and 138:
Avem vj v1 =2 v2 =0 v3 =1 v4 =1 ui
Page 139 and 140:
depozitare. Obt¸inem astfel proble
Page 141 and 142:
Di de centrul de consum Cj. Dacă p
Page 143 and 144:
Tabelul 7.6.3. Se observă că noua
Page 145 and 146:
10. Să se rezolve problema de tran
Page 147 and 148:
Bibliografia aferentă capitolului:
Page 149 and 150:
Definit¸ia 8.1.4 Spunem că ¸siru
Page 151 and 152:
Observat¸ia 8.1.1 În practică, c
Page 153 and 154:
i) Dacă l ∈ R ∗ ,atunci lim n
Page 155 and 156:
Propozit¸ia 8.1.11 (Lema lui Cesar
Page 157 and 158:
După doi ani, vom avea suma S2 = S
Page 159 and 160:
Definit¸ia 8.2.7 Un spat¸iu vecto
Page 161 and 162:
Corolarul 8.2.2 Spat¸iile R m sunt
Page 163 and 164:
ezultă, pentru p →∞că d(xn,x0
Page 165 and 166:
u ′′ n =sinnπ 3 n3 +3n2 +4n
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Cum ¸stim efectua adunări de nume
Page 171 and 172:
Demonstrat¸ie. Fie n>k;notăm cu S
Page 173 and 174:
Teorema 9.2.2 (Criteriul Dirichlet)
Page 175 and 176:
|(−1) n an+1 +(−1) n+1 an+2 +(
Page 177 and 178:
Demonstrat¸ie. Fie seria sumelor p
Page 179 and 180:
conform criteriului de comparat¸ie
Page 181 and 182:
de unde an+1 an 1, procedând în m
Page 183 and 184:
de unde găsim Sn < a1(l − ε) l
Page 185 and 186:
9.6 Test de verificare a cuno¸stin
Page 187 and 188:
Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 189 and 190:
Capitolul 10 Funct¸ii între spat
Page 191 and 192:
Demonstrat¸ie. 1) Cum V (x0) este
Page 193 and 194:
Exemplul 10.1.13. Dacă X = R 2 est
Page 195 and 196:
1) un punct x ∈ X este aderent mu
Page 197 and 198:
Teorema 10.1.5 O mult¸ime A dintr-
Page 199 and 200:
deci A este compactă. În finalul
Page 201 and 202:
Dacă x =(x1,...,xm) ∈ A iar y =(
Page 203 and 204:
10.3 Limita unei funct¸ii într-un
Page 205 and 206:
Se arată că f are limită în pun
Page 207 and 208:
Exemple. 10.4.1. Fie (X, d) un spat
Page 209 and 210:
de unde adică δ1 T (x) ≤1, 2x T
Page 211 and 212:
Observat¸ia 10.4.4 Uniform continu
Page 213 and 214:
Demonstrat¸ie. Vom proceda prin re
Page 215 and 216:
10.5 Test de verificare a cuno¸sti
Page 217 and 218:
Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 219 and 220:
Capitolul 11 Derivarea funct¸iilor
Page 221 and 222:
2) Produsul λf este derivabilă ¸
Page 223 and 224:
(11.4) A¸sadar, avem = α(α − 1
Page 225 and 226:
Observat¸ia 11.2.5 Între două r
Page 227 and 228:
i) f este continuă pe[a, b]; ii) f
Page 229 and 230:
(∀)t ∈ I, de unde g ′ (t) = f
Page 231 and 232:
Acum, relat¸ia (11.9) se mai poate
Page 233 and 234:
Definit¸ia 11.4.5 Numim ritmul loc
Page 235 and 236:
Indicat¸ii ¸si răspunsuri Test n
Page 237 and 238:
Capitolul 12 Derivarea funct¸iilor
Page 239 and 240:
Exemplul 12.1.3. Pentru funct¸ia u
Page 241 and 242:
Fig.12.2.1. Prima este o curbă de
Page 243 and 244:
= a 2 ∂2f ∂u2 +2ac ∂2f ∂y
Page 245 and 246:
Demonstrat¸ie. Considerăm funct¸
Page 247 and 248:
i) F (a1,a2) =0 ii) F, F ′ x, F
Page 249 and 250:
2 ∂u ∂v 2x +6u − 3v2 ∂x ∂
Page 251 and 252:
= ∂f ∂f dx + ∂x ∂y dy. În
Page 253 and 254:
Pentru o funct¸ie de n variabile,
Page 255 and 256:
Egalându-le cu zero, avem sistemul
Page 257 and 258:
unde y ′ este derivata funct¸iei
Page 259 and 260:
de unde dy = − x y dx. Pentru x =
Page 261 and 262:
dx − dy − dz =0, de unde găsim
Page 263 and 264:
Raportul rxy = cxy σxσy se nume¸
Page 265 and 266:
(x − 1)(x − 3)(x − 4) l1(x) =
Page 267 and 268:
Indicat¸ii ¸si răspunsuri Test n
Page 269 and 270:
Capitolul 13 Generalizări ale not
Page 271 and 272:
∞ dx a1−λ În concluzie, avem
Page 273 and 274:
Avem Pm(x) lim xλ = lim x→∞ Qn
Page 275 and 276:
1 Funct¸ia f :[0, 1) → (0, ∞),
Page 277 and 278:
Teorema 13.2.1 (Teorema trecerii la
Page 279 and 280:
Cu alte cuvinte, în condit¸iile t
Page 281 and 282:
¸si −αx sin x Cum lim e x→0 x
Page 283 and 284:
1) Γ(1) = 0 ∞ e −x dx = −e
Page 285 and 286:
4) Rezultă imediat din 3). 5) Aces
Page 287 and 288:
În fiecare subdomeniu Di al divizi
Page 289 and 290:
Dacă D g(x, y)dxdy = 0, atunci pr
Page 291 and 292:
= 1 0 − 1 1 + dx = x +3 x +2 =
Page 293 and 294:
y 1 A(1, 1) 0 y=x y=x 2 1 Fig. 13.4
Page 295 and 296:
¸si avem I = Δ 1 √ rdrdθ = 1+
Page 297 and 298:
d) I = ∞ 0 7. Calculat¸i: a) I
Page 299:
show all

matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?