matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Aceste limite se numesc respectiv derivata part¸ială a funct¸iei f în raport cu x ¸si
derivata part¸ială afunct¸iei f în raport cu y, în punctul M(a1,a2). Ele se notează prin
f ′ x(a1,a2) = ∂f(a1,a2)
∂x
¸si respectiv f ′ y(a1,a2) = ∂f(a1,a2)
.
∂y
Este evident că dacă funct¸ia f este derivabilă în raport cu x ¸si respectiv cu y, atunci
f este continuă în raport cu x ¸si respectiv în raport cu y.
Dacă funct¸ia f este derivabilă part¸ial în orice punct din domeniul D, atunci derivatele
part¸iale resprezintă noifunct¸ii de două variabile, definite pe D ¸si asociate funct¸iei f.
Practic, pentru a calcula derivata part¸ială în raport cu x a funct¸iei z = f(x, y) se
consideră f ca funct¸ie de x, considerându-se y constantă, ¸si se aplică formulele de derivare
cunoscute, pentru această funct¸iedevariabilă x.
Pentru a calcula derivata part¸ială în raport cu y se consideră x constantă.
Exemplul 12.1.1. Să calculăm derivatele part¸iale pentru funct¸ia
Avem
f ′ x(x, y) =
f ′ y(x, y) =
f(x, y) =
∂f(x, y)
∂x
∂f(x, y)
∂y
x + y
x 2 + y 2 +1 , (x, y) ∈ R2 .
= 1(x2 + y 2 +1)− 2x(x + y)
(x 2 + y 2 +1) 2
= y2 − x 2 − 2xy +1
(x 2 + y 2 +1) 2 ,
= 1(x2 + y 2 +1)− 2y(x + y)
(x 2 + y 2 +1) 2
= x2 − y2 − 2xy +1
(x2 + y2 +1) 2 ,
oricare ar fi (x, y) ∈ R2 .
Exemplul 12.1.2. Pentru funct¸ia f(x, y) = x2y definită pe D = {(x, y) ∈ R2 |x > 0,y ∈ R}
derivatele part¸iale sunt
f ′ ∂f(x, y)
x(x, y) = =2y · x
∂x
2y−1
¸si
f ′ ∂f(x, y)
y(x, y) = = x
∂y
2y 2lnx.
Observat¸ia 12.1.1 Derivatele part¸iale ale unei funct¸ii de n variabile, n ≥ 3, se definesc în
mod analog. Fie funct¸ia f : D ⊆ Rn → R, z = f(x1,x2,...,xn) ¸si punctul M(a1,a2,...,an) ∈ D.
Spunem că funct¸ia f este derivabilă part¸ial în punctul M în raport cu variabila xk, dacă
f(a1,...,ak−1,xk,ak+1,...,an) − f(a1,a2,...,an)
lim
xk→ak
x − ak
există ¸si este finită. Această limită o numim derivata part¸ială a funct¸iei f în raport cu
variabila xk în punctul M ¸si o notăm prin
f ′ xk (M) =f ′ xk (a1,a2,...,an) sau
∂f(M)
∂xk
=
=
= ∂f(a1,a2,...,an)
∂xk
O funct¸ie de n variabile derivabilă în fiecare punct al domeniului D este derivabilă
part¸ial în acel domeniu ¸si derivatele part¸iale sunt funct¸ii de n variabile definite în acel
domeniu. Calculul lor se face pe acelea¸si principii ca la funct¸iile de două variabile.
239