matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

11.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 10
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Derivata unei funct¸ii reale de o variabilă reală;
b) Diferent¸iala unei funct¸ii reale de o variabilă reală.
2. Enunt¸at¸i:
a) Teorema lui Fermat;
b) Teorema lui Rolle;
c) Teorema lui Lagrange;
d) Teorema (formula) lui Taylor;
c) Teorema lui Cauchy.
3. Studiat¸i derivabilitatea funct¸iei:
a) f : R → R, f(x) = 3√ x3 − 3x +2;
x2 b) f : R → R, f(x) =(x− 1) · arcsin
x2 în punctul x =0.
+1
4. Numerele a0,a1, ..., an verifică condit¸ia a0 2a1
+
1 2 + 22a2 3 + ... + 2nan =0. Săsearatecă
n +1
funct¸ia f :[1,e2 ] → R, f(x) =a0 + a1 ln x + a2 ln 2 x + ... + an ln n x are cel put¸inunzeroîn
intervalul (1,e2 ).
5. a) Se consideră finct¸ia f :(−1, ∞) → R, f(t) = ln(1 + t). Aplicând teorema lui Lagrange
funct¸iei f pe intervalul [0,x], x>0, săsearatecă oricare ar fi x>0 are loc relat¸ia:
x − (1 + x) · ln(1 + x) < 0;
b) Să searatecă funct¸ia g :(0, ∞) → R, g(x) =(1+x) 1
x este monoton descrescătoare.
6. Utilizând teorema lui Cauchy să se demonstreze inegalitatea:
ln(1 + x) > arctgx
1+x
, x > 0.
7. a) Precizat¸i punctele de extrem local ale funct¸iei:
f : R → R , f(x) =|x 2 − 1|.
b) Determinat¸i derivata de ordinul n, n ∈ N, pentru funct¸ia f(x) =sinx.
c) calculat¸i derivata de ordinul 20 a funct¸iei
8. Să sedezvoltedupă puterile lui x funct¸ia
h(x) =x 3 · sin x.
f :(−1, ∞) → R , f(x) = ln(1 + x).
9. Să sedezvoltef(x) =e x , x ∈ R, după puterile lui x +1.
10. Să se determine n ∈ N astfel încât polinomul lui Taylor Tn(x) în punctul x0 =0asociat
funct¸iei f(x) = √ 1+x, x ∈ [−1, ∞] să difere de funct¸ie cu mai put¸in de 1
în intervalul
16
[0, 1].
235