matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Demonstrat¸ie. Cum ¸sirul (bn) este monoton ¸si mărginit rezultă că el este convergent; fie
lim
n→∞ bn = b. Fără arestrânge generalitatea demonstrat¸iei putem considera că ¸sirul (bn) este
crescător. Atunci ¸sirul (b − bn) va fi un ¸sir descrescător ¸si cu limita 0. Din faptul că serie
an este convergentă rezultăcă¸sirul sumelor part¸iale este mărginit. Aplicând criteriul
lui Dirichlet, deducem că serie an(b − bn) este convergentă. Dar an fiind convergentă
rezultă că ¸si ban este convergentă. Acum, utilizând teorema 9.1.1, obt¸inem că seria
anbn este convergentă deoarece anbn = −an(b − bn)+ban, pentruoricen∈N∗ . Cu această
teorema este demonstrată.
∞ 1
Exemplul 9.2.2. Fie seria
2
n=1
n
1+ 1
n . Observăm că seria
n
1
este convergentă, fiind
2n serie geometrică curat¸ia 1
2 ∈ (−1, 1), iar¸sirul bn = 1+ 1
n, ∗
n n ∈ N , este strict crescător ¸si
mărginit (Exemplul 8.1.1). Cum sunt îndeplinite condit¸iile criteriului lui Abel, deducem că
seria dată este convergentă.
∞
Definit¸ia 9.2.1 Oseriean
se nume¸ste serie alternantă (sau alternată) dacă anan+1 < 0,
n=1
pentru orice n ∈ N ∗ , adică dacă termenii săi alternează casemn.
sau
Este evident că orice serie alternantă poate fi scrisăîn una din formele:
∞
(−1) n an, undean≥0, pentru orice n ∈ N∗ .
n=1
Exemplul 9.2.3. Seriile n−1 1
(−1)
sunt serii alternate.
n
=1− 1
2
1 1
+ −
3 4 +...¸si
Teorema 9.2.4 (Criteriul lui Leibniz). Dacă în serie alternantă
∞
(−1) n 1
2n − 1
n=1
∞
n=1
∞
n=1
(−1) n−1 an
1 1
= −1+1 − +
3 5 7 −...
(−1) n−1 an ¸sirul (an) este
descrescător ¸si convergent la zero, atunci seria este convergentă.
∞
Demonstrat¸ie. Cum seria (−1) n−1 are ¸sirul sumelor part¸iale mărginit (|Sn| ≤1, oricare
n=1
ar fi n ∈ N∗ ), iar ¸sirul (an) este descrescător ¸si convergent la 0 rezultă, conform criteriului
lui Dirichlet că seria alternantă este convergentă.
∞
Exemplul 9.2.4. Seria (−1) n−1 1
este convergentă deoarece sunt îndeplinite
2n − 1
n=1
condit¸iile criteriului lui Leibniz, adică ¸sirul
zero.
∞
Corolarul 9.2.1 Dacă seria
n=1
1
2n−1
n≥1
este descrescător ¸si convergent la
(−1) n−1 an îndepline¸ste condit¸iile din Criteriul lui Leibniz
(Teorema 9.2.4) ¸si S este suma ei, atunci
|S − Sn| ≤an+1, pentru orice n ∈ N ∗ ,
n
unde Sn = (−1) k−1 ak sumă part¸ială derangn.
k=1
Demonstrat¸ie. Într-adevăr, cum ak − ak+1 ≥ 0, k ∈ N∗ , atunci
∞
|S − Sn| = (−1)
n−1 n
an − (−1) k−1
ak
=
n=1
175
k=1