matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

= f(x (1) )+M[cj − (c1α1j + c2α2j + ...+ cmαmj)] = f(x (1) )+MΔj.
Cum Δj < 0 ¸si M →∞,rezultăcă f(x (2) ) →−∞, ceea ce trebuia demonstrat.
Pentru o astfel de problemă de P.L. sse spune că eaaresolut¸ie (optimă) infinită.
Exemplul 5.4.2. Să se rezolve problema de P.L.:
(min)f(x) =−2x1 + x2 − 2x3 − 3x4
⎧
⎨
⎩
4x1 +x2 −3x4 =10
2x1 −x2 +x3 =6
2x1 −x2 +3x4 =6
xj ≥ 0, j = 1, 4.
Utilizând algoritmul simplex obt¸inem tabelul:
P 4
−→
←−
e 3
P1
−→
←−
e1
c -2 1 -2 -3
CB B b P1 P2 P3 P4
e1 10 4 1 0 -3
-2 P3 6 2 -1 1 0
e3 6 2 -1 0 3
e1 16 6 0 0 0
-2
-3
-2
-2
-3
P3
P4
P1
P3
P4
6
4
8
3
2
3
22
3
2
2
3
1
0
0
-1
1 − 3
0
-1
−
1
0
0
1
0
1
0
0
1
zj −
3 0 1
86
Δj
3
–
-2
0
3
-2
-2
0
-3
0
Deoarece Δ2 = −2 < 0, iarα12 =0, α22 = −1 < 0, α32 = − 1
3
Într-adevăr, luând x2 = M>0, x1 = 8
3 , x3 = 2
3 + M, x4 = 22
3
f(x) =− 86
3
¸si astfel când M →∞,obt¸inem f →−∞.
− 2M
5.4.3 Degenerare în problemele de programare liniară
Considerăm problema de P.L. standard
(min)f(x) =cx
< 0, rezultăcă (min)f = −∞.
+ M, avem
Ax = b
x ≥ θ.
Aceasta, conform Definit¸iei 5.2.3, va avea o solut¸ie degenerată dacănumărul componentelor
sale strict pozitive este mai mic decât m, adicăcel put¸in o necunoscută principală
are valoarea zero (în vectorul coloană b există zerouri). Situat¸ia de degenerare într-o problemă
de P.L., apare, fie la început, fie pe parcurs, când la introducerea în bază a unui vector
există mai multe elemente pozitive care furnizează acela¸si raport minim. În această ultimă
situat¸ie apare a¸sa numitul fenomen de ciclare. Pentru a evita acest fapt, elementul pivot, se
demonstrează, va fi ales acela care furnizează cea mai mică linie în ordonarea lexicografică.
Definit¸ia 5.4.1 Linia (b1; x1,x2,...,xn) este mai mică în ordine lexicografică decât linia
(b2; y1,y2,...,yn) dacă b1