matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

N1. x =0, dacă ¸si numai dacă x = θ;
N2. λx = |λ| x, oricare ar fi λ ∈ K ¸si x ∈ V ;
N3. x + y ≤x + y (inegalitatea triunghiurilor), oricare ar fi x, y ∈ V .
Dacă în N3 punem y = −x, atunci rezultă x ≥0, pentru orice x ∈ V .
Definit¸ia 2.4.4 Un spat¸iu vectorial V peste K este normat dacă pe el s-a definit o normă. Scriem
(V, · ).
Teorema 2.4.1 Dacă (V,< · , · >) este un spat¸iu euclidian, atunci pentru orice x, y ∈ V are loc
inegalitatea
| |≤ √ · .
numită inegalitatea lui Cauchy–Schwarz–Buniakowscki.
Demonstrat¸ie. Pentru orice x, y ∈ V ¸si orice λ ∈ R, avem≥ 0. De aici, folosind
P 2 − P 4obt¸inem
λ 2 (2.4)
+2λ+ ≥0 pentru orice λ ∈ R.
Dacă y = θ inegalitatea (10.8) devine
(2.5)
2λ + ≥ 0.
Dar =< x,x− x>=< x,x>+ =< x,x>+ < −x, x >=< x,x>− =
0. Cum ≥ 0, rezultă că (10.8) are loc pentru y = θ ¸si oricare ar fi x ∈ V .
Deci, putem presupune y = θ, adică >0. Atunci trinomul de gradul doi în λ din (10.8) va
fi ≥ 0, oricare ar fi λ ∈ R, dacă¸si numai dacă Δλ =< x,y> 2 − · ≤ 0, de unde rezultă
| |≤ √ · ceea ce trebuia demonstrat.
Egalitate în inegalitatea lui Cauchy–Schwarz–Buniakowski se obt¸ine numai dacă x = −λy, adică
vectorii x ¸si y sunt coliniari.
Observat¸ia 2.4.1 Pentru x =(x1,...,xn), y =(y1,y2,...,yn) vectori din Rn inegalitatea Cauchy–
Schwarz–Buniakowski ia forma
n
2
n
n
≤
,
xiyi
i=1
cu egalitate numai dacă x1/y1 = x2/y2 = ...= xn/yn = λ ∈ R.
i=1
Teorema 2.4.2 Dacă (V,< · , · >) este un spat¸iu euclidian, aplicat¸ia · : V → R, definită prin
x = √ este o normă peV ,numită norma generată de produsul scalar.
Altfel spus, un spat¸iu prehilbertian este un spat¸iu normat.
Demonstrat¸ie. Trebuiesc verificate proprietăt¸ile normei. Din x =0avem= 0, de unde, pe
baza lui P 1, deducem x = θ, ceea ce ne demonstrază N1.
Pentru N2 avemλx = √ < λx, λx > = λ 2 = |λ| x, pentru orice λ ∈ R ¸si orice
x ∈ V .
Pentru a demonstra N3 putem scrie x + y 2 ==
+2 + ≤x 2 +2x·y + y 2 =(x + y) 2 (s-a folosit inegalitatea lui
Cauchy–Schwarz–Buniakowski), de unde rezultă x + y ≤x + y, oricare ar fi x, y ∈ V .
Observat¸ia 2.4.2 Teoremele 10.4.1 ¸si 10.4.2 rămân adevărate ¸si pentru spat¸iile vectoriale unitare.
22
x 2 i
i=1
y 2 i