matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Observat¸ia 10.3.1 Afirmat¸iile 1) – 4) din teorema 10.3.1 fiind echivalente logic, rezultă că
oricare din ele poate fi luată ca definit¸ie a limitei unei funct¸ii într-un punct. În continuare,
noi vom folosi mai mult definit¸ia cu ¸siruri deoarece ne va permite ca să obt¸inem
proprietăt¸ile limitelor de funct¸ii din proprietăt¸ile limitelor de ¸siruri.
Observat¸ia 10.3.2 Definit¸ia limitei cu ¸siruri a limtiei unei funct¸ii într-un punct se utilizează
la a dovedi că ofunct¸ienuarelimităîntr-un punct. Pentru aceasta este suficient să găsim
un ¸sir (xn), (xn) ⊂ A −{x0}, culim n→∞ xn = x0 a¸sa încât lim
n→∞ f(xn) să nu existe sau să aflăm
două ¸siruri (x (1)
n ) ¸si (x (2)
n ) din A−{x0}, ambele convergente la x0, pentrucare¸sirurile (f(x (1)
n ))
¸si (f(x (2)
n )) să aibă limite diferite în Y .
Teorema 10.3.2 Fie spat¸iile metrice (X, d1) ¸si (Y,d2), A ⊆ X, x0 ∈ A ′ ¸si f : A → Y ofunct¸ie.
Dacă f are limită în x0, atunci această limită este unică.
Demonstrat¸ie. Valabilitatea afirmat¸iei rezultă aplicând definit¸ia cu ¸siruri a limitei unei
funct¸ii într-un punct ¸si t¸inând seama că limita unui ¸sir de puncte dintr-un spat¸iu metric
este unică.
Teorema 10.3.3 Fie −→ f : A → Rp , A ⊆ Rm , m ≥ 1, p ≥ 2, funct¸iavectorială −→ f =(f1,f2,...,fp),
unde fi : A → R, i = 1,p ¸si x0 ∈ A ′ . Atunci −→ f are limita l =(l1,l2,...,lp) în punctul x0 dacă
¸si numai dacă există lim fi(x) =li, i = 1,p.
x→x0
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă imediat folosind definit¸ia limtiei unei funct¸ii cu ¸siruri
¸si faptul că în Rn convergenta unui ¸sir de elemente este echivalentăcuconvergent¸a pe
coordonate (v.Teorema 8.2.2).
Observat¸ia 10.3.3 Din Teorema 10.3.3 rezultă că studiul limitei funct¸iilor vectoriale se reduce
la studiul funct¸iilor reale de mai multe variabile reale f : A → R, A ⊆ R m .
prin
Dacă x0 =(a1,a2,...,am) ∈ A ′ se obi¸snuie¸ste a nota lim f(x), x =(x1,x2,...,xm) ∈ R
x→x0
m ,
lim
x 1 →a 1
x 2 →a 2
.
xm→am
f(x1,x2,...,xm)
Utilizând cele demonstrate la ¸siruri pentru funct¸iile care iau valori reale rezultă:
Teorema 10.3.4 Fie f,g : A → R, unde A ⊆ (X, d) ¸si x0 ∈ A ′ .
lim f(x) =l2, cul1,l2 ∈ R, atunci există
x→x0
Dacăexistă lim f(x) =l1 ¸si
x→x0
1) lim (f + g)(x) ¸si valoarea ei este l1 + l2;
x→x0
2) lim (f + g)(x) ¸si valoarea ei este l1l2;
x→x0
3) lim
x→x0
f(x) ¸si valoarea ei este l1
, dacă l2 = 0¸si g(x) = 0 pentru x ∈ A.
l2
Observat¸ia 10.3.4 Dacă l1,l2 ∈ R, atunci pot să apară a¸sa numitele ”operat¸ii fără sens”,
care se elimină prin diferite metode.
Observat¸ia 10.3.5 Fie f : A → (Y,d), cuA⊆ R, ofunct¸ie ¸si x0 ∈ A ′ . Dacăexistă lim f(x) =
x→x0
xx 0
f(x) =ld), atunci spunem că f are limită lastânga (respectiv limită la
dreapta) în punctul x0. Limitele la stânga ¸si la dreapta într-un punct poartă numele de
limită laterală.
205