matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

9.5 Problemă economică. Fluxul de venit
În problemele de capitalizare se pune problema: ce sumă trebuie investită ca după x
ani să seobt¸ină osumă egală cua, dacă se cunoa¸ste dobânda r% ¸si frecvent¸a capitalizării
ei.
Să notăm cu S suma investită (ce trebuie aflată). Ea se nume¸ste valoarea prezentă ¸si
scontată asumeia, disponibilă pestex ani.
Dacă dobânda r% se capitalizează odată pe an, atunci din aplicat¸ia economică din
1.1, rezultă că suma disponibilă pestex ani este S(1 + r) x . Atunci, din
S(1 + r) x = a,
rezultă
a
S = .
(1 + r) x
Dacă dobânda s-ar capitaliza de n ori pe an, cu r%, atunci
a
S =
r nx .
1+ n
În fine, dacă, dobânda s-ar adăuga continuu, cu r%, atunci
S = ae −rx .
Parametrii de care depinde S sunt r ¸si n, care reprezintă dobânda ¸si frecvent¸a capitalizării.
Se observă că suma prezentă S este cu atât mai mică cucât dobânda este mai
mare ¸si cu cât se capitalizează mai des.
Problema pusă se poate extinde astfel: dacă dorimsă variem veniturile de la an la an
cu valorile a0,a1,...,am, adăugându-se în fiecare an dobânda r%,a tunci valoarea variat¸iei
venitului, numită flux de venituri, ar fi
(9.15)
a0 + a1
1+r +
a2
+ ...+
(1 + r) 2
am
.
(1 + r) m
Suma (9.15) se nume¸ste valoarea de capital a fluxului de venit. Ea este suma S ce
trebuie investită pentru a obt¸ine veniturile a0,a1,...,am în anii următori.
Se observă că dacă numărul anilor de capitalizare ar cre¸ste indefinit, atunci suma
(9.15) reprezintă o serie de tip geometric.
Să considerăm acum un flux de venit în valoare a care începe în anul următor ¸si
continuă timpden ani cu dobânda anuală r%. Atunci valoarea prezentă a fluxului va fi
S = a
1+r +
a
1+r
· 1 − 1
(1+r) n
1 − 1
1+r
a
+ ...+
(1 + r) 2
a
=
(1 + r) n
= a
n 1
1 −
.
r 1+r
Dacă fluxul de venit continuă indefinit, atunci valoarea prezentă se obt¸ine prin
∞
trecere la limită, făcând n →∞, adicăsuma seriei geometrice convergente a/(1 + r) n .
Prin urmare, valoarea prezentă S a sumei a, care va fi capitalizată la nesfâr¸sit, cu rata
dobânzii r% anual, este a/r.
185
n=1