matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

puncte (f(xn)) a¸sa ca lim
n→∞ f(xn) Y = y. Prin urmare, y ∈ f(A), ceea ce ne arată căamdovedit
incluziunea f(A) ⊂ f(A).
Acum, să arătăm că 4) implică 3). Fie B omult¸ime închisă în Y ,adică B = B în Y .
Notăm f −1 (B) cu A. Conform ipotezei 4) avem
de unde
f(A) ⊂ f(A) =f(f −1 (B)) ⊂ B = B,
A ⊂ f −1 (f(A)) ⊂ f −1 (B) =A.
Cum A ⊂ A, rezultăcăA = A, ceea ce ne arată că A = f −1 (B) este închisă în X.
Să arătăm că 3) implică 2). Fie D omult¸ime deschisă în Y . Atunci B = Y − D este
închisă în Y . Conform ipotezei 3) mult¸imea f −1 (B) =f −1 (Y − D) este închisă în X. De aici
rezultă că
X − f −1 (B) =X − [f −1 (Y ) − f −1 (D)] = f −1 (D)
este deschisă în X.
Mai avem de demonstrat că din 2) rezultă 1). Fie x0 un punct arbitrar din X ¸si
D = SY (f(x0),ε) osferădeschisădinY . Conform ipotezei 2), mult¸imea f −1 (D) este mult¸ime
deschisă în X. Rezultăcă f −1 (D) este o vecinătate pentru x0 ∈ X.
Atunci există osferăSX(x0,δε) ⊂ f −1 (D) a¸sa încât pentru orice x ∈ SX(x0,δε) să avem
f(x) ∈ SY (f(x0),ε)=D, ceea ce ne arată căf este continuă în x0 (vezi Teorema 10.4.2).
Observat¸ia 10.4.2 Mult¸imea funct¸iilor continue pe X cu valori în Y se notează prin C(X, Y ).
Definit¸ia 10.4.4 Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice ¸si f : A ⊂ X → Y ofunct¸ie. Spunem
că f este uniform continuă peA, dacă oricare ar fi ε>0 există δε > 0 (acela¸si pentru toate
punctele x ∈ A) astfelîncât, oricare ar fi x1,x2 ∈ A cu proprietatea d1(x1,x2) 0 astfel încât, pentru orice x1,x2 ∈ A
cu d1(x1,x2)