matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Cum seria geometrică (l + ε) n este convergentă, conform criteriului de comparat¸ie
a termenilor generali, rezultă căseria an este convergentă.
Dacă l>1, procedând în mod analog, găsim
an > (l − ε) n , cu l − ε>1, pentru n>nε,
de unde obt¸inem că seria an este divergentă.
Exemplul 9.4.5. Seria numerică
∞
n 2a · n +1
, cu a>0,
n +1
n=1
este cu termeni pozitivi.
Utilizând criteriul rădăcinii cu limită, avem
2a n n · n +1
2a · n +1
lim
= lim
n→∞ n +1
n→∞ n +1 =2a.
Dacă 2a 1/2, atunci seria dată estedivergentă.
Dacă a =1/2 atunci termenul general al seriei este 1, ceea ce implică că seria este
divergentă.
Teorema 9.4.6 (Criteriul Raabe–Duhamel cu limită). Fie seria an cu termeni pozitivi.
Dacă
lim
n→∞ n
an
− 1 = l,
an+1
atunci seria este convergentă când l>1 ¸si este divergentă când l1, atunci pentru orice ε ∈ (0,l− 1) există nε ∈ N a¸sa încât
an
n
− 1 >l− ε, pentru n>nε,
an+1
de unde
(l − ε)an+1 nε.
Fără arestrânge generalitatea, putem considera că (9.12) are loc pentru orice n ∈ N∗ .
Dând succesiv valorile 1, 2,...,n− 1 în (9.12) obt¸inem
(l − ε)a2