matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Observat¸ia 12.5.1 Într-un punct de extrem avem f ′ x(a1,a2) =0,f ′ y(a1,a2) =0,decidf (a1,a2) =
0.
Ne interesează o condit¸ie suficientă caunpunctstat¸ionar să fie punct de extrem.
Teorema 12.5.2 Fie punctul (a1,a2) interior domeniului D ⊆ R2 ,punctstat¸ionar al funct¸iei
f : D → R. Presupunem că funct¸iafare derivate part¸iale de ordinul doi continue într-o
vecinătate V (a1,a2) a punctului (a1,a2). Se consideră matricea Hess
H =
2
∂ f
∂x2 ∂ 2 f
∂x∂y
∂ 2 f
∂x∂y
∂ 2 f
∂y2 cu minorii principali
△1 = ∂2f(a1,a2) ∂x2 , △2 = det H(a1,a2)
Cu aceste notat¸ii au loc afirmat¸iile:
i) dacă △1 > 0 ¸si △2 > 0, atunci punctul (a1,a2) este punct de minim local pentru f;
ii) dacă △1 < 0 ¸si △2 > 0, atunci punctul (a1,a2) este punct de maxim local pentru f;
iii) dacă △2 < 0, atuncipunctul(a1,a2) nu este punct de extrem.
Demonstrat¸ie. Natura punctului stat¸ionar (a1,a2) este dată
de semnul diferent¸ei f(x, y) − f(a1,a2). T¸inând seama că
f ′ x(a1,a2) = 0, f ′ y(a1,a2) = 0, din formula lui Taylor pentru n= 2 (Teorema 12.3.2)
avem f(x, y) =f(a1,a2)+
+ 1
(x − a1)
2!
∂
(2)
∂
+(y − a2) f(a1,a2)+R2(f,x,y)
∂x ∂y
pentru (x, y) ∈ D ∩ V ((a1,a2)). Dacă (x, y) este suficient de aproape de punctul (a1,a2), atunci
semnul diferent¸ei f(x, y)−f(a1,a2) nu este influent¸at de restul R2(f,x,y) al formulei. A¸sadar,
avem
f(x, y) − f(a1,a2) = 1
2
+2(x − a1)(y − a2) ∂2 f(a1,a2)
∂x∂y
(x − a1) 2 ∂2f (a1,a2)+
∂x2 +(y − a2) 2 ∂2 f(a1,a2)
∂y 2
care este o formă pătratică în variabilele x − a1 ¸si y − a2, având matricea chiar hessiana.
Conform rezultatelor cunoscute de la formele pătratice, avem că:
i) dacă △1 > 0 ¸si △2 > 0, atunci forma pătratică este pozitiv definită, adică diferent¸a
f(x, y) − f(a1,a2) > 0 pentru (x, y) = (a1,a2), deci f(x, y) > f(a1,a2) ¸si, prin urmare,
punctul (a1,a2) este punct de minim;
ii) dacă △1 < 0 ¸si △2 > 0, atunci forma pătratică este negativ definită, adică diferent¸a
f(x, y) − f(a1,a2) < 0 pentru (x, y) = (a1,a2), deci f(x, y) < f(a1,a2) ¸si, prin urmare,
punctul (a1,a2) este punct de maxim local;
iii) dacă △2 < 0, atunci forma pătratică este nedefinită, deci (a1,a2) nu este punct de
extrem local
Exemplul 12.5.1. Să determinăm punctele de extrem local pentru funct¸ia
f(x, y) =x 5 + y 5 − 5xy, (x, y) ∈ R 2 .
Mai întâi determinăm punctele stat¸ionare. Pentru aceasta calculăm derivatele part¸iale de
ordinul întâi:
∂f
∂x =5x4− 5y, ∂f
∂y =5y4 − 5x.
255
,