matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Cum B este bazăîn spat¸iul vectorial V , din egalitatea precedentă rezultă:
b1 + bta1 =0,...,bt−1 + btat−1 =0,btat =0,bt+1 + btat+1 =
=0,...,bn + btan =0.
Deoarece at = 0, deducem bt =0¸si deci b1 = b2 = ...= bn = 0, ceea ce ne arată că B1 este liniar
independent.
Să arătăm acum că B1 este un sistem de generatori pentru V .Fieyun vector din V ,careîn baza
n
B are scrierea y = cke (k) .Cumat= 0, din scrierea lui x avem
k=1
înlocuind pe e (t) în y, obt¸inem
(2.1)
e (t) = a −1
t (x − a1e (1) − ...− at−1e (t−1) − at+1e (t+1) − ...− ane (n) ),
y =(c1 − a −1
t a1ct)e (1) + ...+(ct−1 − a −1
t at−1ct)e (t−1) + a −1
t ctx+
+(ct+1 − a −1
t at+1ct)e (t+1) + ...+(cn − a −1
t anct)e (n) ,
ceea ce ne arată că B1 este un sistem de generatori pentru V .
Observat¸ia 2.3.1 Prin induct¸ie matematică se poate demonstra următorul rezultat (teorema generală
aînlocuirii): dacă B = {e (1) ,e (2) ,...,e (n) } este o bază în spat¸iul vectorial V peste câmpul K ¸si S =
{x (1) ,x (2) ,...,x (p) } este un sistem de vectori liniar independent din V , atunci p ≤ n ¸si putem înlocui p
vectori din B prin vectorii lui S, astfel ca, renumerotând vectorii, B1 = {x (1) ,...,x (p) ,e (p+1) ,...,e (n) }
să fie, de asemenea, bază pentru V .
Comentariul 2.3.1 Demonstrat¸ia Teoremei 10.3.3 ne dă ¸si procedeul practic de înlocuire a unui vector
dintr-o bază cu un alt vector, cât ¸si formulele de calcul al coordonatelor unui vector în noua bază. Intr-
n
adevăr, pentru coordonatele vectorului y = cke (k) în noua bază B1 din formula (2.1) rezultă formulele
(2.2)
¸si
(2.3)
k=1
yk = ck − a −1
t akct = ckat − akct
, pentru k = t
yt = a −1
t ct = ct
, pentru k = t.
at
Formulele (2.2) ¸si (2.3) ne dau regulile de aflare a componentelor lui y în baza B1, în care în
locul vectorului e (t) s-a introdus vectorul x. Formula (2.3) arată cănoua componentă a vectorului y
corespunzătoare vectorului x ce intrăîn locul lui e (t) ,seobt¸ine prin împărt¸irea componentei sale ct (de
pe linia ”t”) la componenta at aluixde pe coloana t, iar formula (2.2) indică regula: componenta nouă
yk aluiy, de pe o linie arbitrară k, seobt¸ine din vechea componentă ak după regula
at
ak
ct
ck
at
echivalentă cu atck − akct
= yk,
numită ¸si regula dreptunghiului. Elementul at = 0senume¸ste ¸si pivot, ceea ce face ca regula dreptunghiului
să se mai numească ¸si regula pivotului. De obicei calculele se fac în tabele succesive de
18
at