matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

de unde
an+1
an
1, procedând în mod analog, găsim
an+1
an
>l− ε>1, pentru n>nε
De aici, utilizând a doua parte a Teoremei 9.4.4, deducem că seria an este divergentă.
Observat¸ia 9.4.2 Corolarul 9.4.1 nu este aplicabil în situat¸ia l =1. În acest caz, trebuie
apelat la alte metode pentru a preciza natura seriei de studiat.
Exemplul 9.4.4. Seria de numere reale
∞
an+1
lim = lim
n→∞ an n→∞
n=1
3nn! ,
nn este cu termeni pozitivi. Vom studia natura ei utilizând criteriul raportului cu limită. Avem
succesiv:
= lim
n→∞ 3
n n
=
n +1
3 n+1 ·(n+1)!
(n+1) n+1
3 n ·n!
n n
= 3 lim
n→∞
1
n+1
n
Cum 3/e > 1, rezultăcă seria este divergentă.
n = 3
e
Teorema 9.4.5 (Criteriul rădăcinii – Cauchy). Fie seria an cu termeni pozitivi. Dacă
n√ an ≤ λ