matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

More documents

Recommendations

Info

Reciproc, să presupunem că A = A. Fie x ∈ C(A) =C(A); atunci x ∈ A, deciexistăo vecinătate V (x) a punctului x, cu proprietatea V (x) ∩ A =Φ. Rezultăcă V (x) ⊂ C(A); de unde, pe baza proprietăt¸ii 1) din Propozit¸ia 10.1.1, obt¸inem că C(A) este o vecinătate a punctului x. Cumx a fost ales arbitrar din C(A), deducem că C(A) este o mult¸ime deschisă, adică A este închisă. Definit¸ia 10.1.12 Fie A o submult¸ime a spat¸iului metric (X, d). Numim frontiera mult¸imii A, notată cu∂A sau Fr A,mult¸imea A ∩ C(A). Punctele mult¸imii Fr A se numesc punctele frontieră ale mult¸imii A. Este evident că Fr A = A − ˚A. Exemplul 10.1.17. Dacă A =[a, b], atunci Fr A = {a, b}. Exemplul 10.1.18. Dacă A = Q, atunci A = Q = R, C(Q) =R ¸si Fr A = R. Exemplul 10.1.19. Dacă A = R 2 , atunci Fr A =Φ. Definit¸ia 10.1.13 O submult¸ime A aunuispat¸iu metric X, d) se nume¸ste densă în X dacă X = A. Exemplul 10.1.20. Mult¸imea Q este densă în R (înzestrat cu metrica euclidiană) deoarece Q = R. La fel mult¸imea numerelor irat¸ionale R − Q este densă în R. Exemplul 10.1.21. Mult¸imea Q n = Q × Q × ...× Q (de n ori) este densă în R. Definit¸ia 10.1.14 Un spat¸iu metric (X, d) se nume¸ste separabil dacă cont¸ine o submult¸ime A numărabilă ¸si densă în X. Exemplul 10.1.22. Spat¸iul metric R înzestrat cu metrica euclidiană este separabil deoarece Q este mult¸ime numărabilă ¸si densă în R. Exemplul 10.1.23. Spat¸iu metric R n , n ≥ 1, înzestrat cu metrica euclidiană este separabil deoarece mult¸imea Q n este numărabilă ¸si densă în R n . Definit¸ia 10.1.15 Fie A o submult¸ime a spat¸iului metric (X, d). Un punct x ∈ X se nume¸ste punct de acumulare pentru mult¸imea A dacă pentru orice vecinătate V (x) aluix are loc (V (x) −{x}) ∩ A = Φ, adică în orice vecinătate V (x) a punctului x se găsesc puncte din A, diferite de x. Mult¸iema punctelor de acumulare ale mult¸imii A se nume¸ste mult¸imea derivată ¸si se notează cuA ′ . Observat¸ia 10.1.2 Orice punct de acumulare este un punct aderent. Observat¸ia 10.1.3 În orice vecinătate a unui punct de acumulare x0 se găse¸ste o infinitate de puncte din A. Într-adevăr, dacă propunem că există o vecinătate V (x0) a punctului x0 care să cont¸ină numai un număr finit de puncte x1,x2,...,xn, diferite de x0 ¸si apart¸inând lui A, atuncialegând r a¸sa încât 0
1) un punct x ∈ X este aderent mult¸imii A dacă ¸si numai dacă există un ¸sir (xn) de puncte din A astfel ca lim n→∞ xn = x (în X). 2) Un punct x ∈ X este punct de acumulare al mult¸imii A dacă ¸si numai dacă există un ¸sir (xn) de puncte din A astfel încât xn = x, pentru orice n ∈ N, ¸si lim n→∞ xn = x (în X). Demonstrat¸ie. 1) Să presupunem că x ∈ A, adicăeste punct aderent pentru A. Atunci, pentru orice n ∈ N∗ , sfera deschisă S x, 1 are puncte comune cu A. Alegem câte un punct n xr ∈ A ∩ S x, 1 , pentru orice n ∈ N n ∗ . Obt¸inem, astfel, ¸sirul de puncte (xn) din A cu d (xn,x) < 1 n ,pentruoricen∈N∗ . Din d(xn,x) < 1 rezultă lim n n→∞ d(xn,x)=0, ceea ce ne arată că lim n→∞ xn = x (în X). Reciproc, dacă (xn) este un ¸sir de puncte din A, astfel încât lim n→∞ xn = x (în X), atunci, pentru orice ε>0, existăunnε∈ N astfel încât xn ∈ S(x, ε) de îndată cen>nε. Rezultăcă pentru orice ε>0 avem S(x, ε) ∩ A = Φ, ceea ce ne asigură căx ∈ A. 2) Demonstrat¸ia se face în acela¸si mod ca la punctul 1), utilizând definit¸ia punctului de acumulare. Definit¸ia 10.1.17 Spat¸iul metric (X, d) se nume¸ste compact, dacă orice ¸sir din X cont¸ine un sub¸sir convergent. Definit¸ia 10.1.18 Mult¸imea A din spat¸iul metric (X, d) este compactă, dacă orice ¸sir (an) din A cont¸ine un sub¸sir convergent către un punct x0 din A. Altfel spus, mult¸imea A din (X, d) este compactă dacă ¸si numai dacă spat¸iul metric (A, d) este compact. Exemplul 10.1.25. Mult¸imea A =[a, b] ⊂ R, a
Page 1 and 2:
UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SI
Page 3 and 4:
6 Elemente de teoria grafurilor 97
Page 5 and 6:
Capitolul 1 Introducere Obiective:
Page 7 and 8:
ce conduce la înlăturarea tratăr
Page 9 and 10:
1.3.3 Problema dietei (nutrit¸iei)
Page 11 and 12:
Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale Obi
Page 13 and 14:
spat¸iul vectorial aritmetic cu n
Page 15 and 16:
Exemplul 2.2.6. Spat¸iul vectorial
Page 17 and 18:
Cum B este bazăîn spat¸iul vecto
Page 19 and 20:
Un subspat¸iu W ,cudim W = n − 1
Page 21 and 22:
N1. x =0, dacă ¸si numai dacă x
Page 23 and 24:
2.5 Mult¸imi convexe În acest par
Page 25 and 26:
Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 27 and 28:
Capitolul 3 Matrice. Determinant¸i
Page 29 and 30:
Definit¸ia 3.1.9 O matrice pătrat
Page 31 and 32:
Schimbând coloana 1 cu coloana 2
Page 33 and 34:
Teorema 3.1.3 Condit¸ia necesară
Page 35 and 36:
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm
Page 37 and 38:
În încheierea acestui paragraf s
Page 39 and 40:
ceea ce trebuia demonstrat. = p k=
Page 41 and 42:
Practic se aplică repetat această
Page 43 and 44:
obt¸inem 1 X = det (A) A∗ ⎛
Page 45 and 46:
extrase din matricea extinsă A, co
Page 47 and 48:
unde ⎛ ⎜ Y1 = ⎜ ⎝ α11 α21
Page 49 and 50:
8. Folosind metoda lui Laplace să
Page 51 and 52:
Bibliografia aferentă capitolului:
Page 53 and 54:
ceea ce trebuia demonstrat. Recipro
Page 55 and 56:
unde t x = (x1,...,xn) xi, i = 1,n
Page 57 and 58:
T¸inând seama de expresiile (4.5)
Page 59 and 60:
Teorema 4.1.4 Dacă vectorii caract
Page 61 and 62:
pentru forma biliniară f avem ⎛
Page 63 and 64:
x 2 2 +4x1x3 +4x 2 3. Utilizând me
Page 65 and 66:
care are o solut¸ie unică deoarec
Page 67 and 68:
Corolarul 4.3.1 O formă pătratic
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Capitolul 5 Elemente de programare
Page 73 and 74:
în mod statistic. Necunoscutele xj
Page 75 and 76:
cu m ≤ n, obt¸inem ⎛ ⎜ (A|b)
Page 77 and 78:
Pasul 5. Se scrie solut¸ia optimă
Page 79 and 80:
Cum tot¸i Δj ≥ 0. j = 1, 7, rez
Page 81 and 82:
= f(x (1) )+M[cj − (c1α1j + c2α
Page 83 and 84:
Astfel, pentru o restrict¸ie de fo
Page 85 and 86:
Acum, putem da regulile de corespon
Page 87 and 88:
a) ambele probleme au solut¸ii opt
Page 89 and 90:
Cum b ≤ θ este mai convenabil s
Page 91 and 92:
5.7 Testul Nr. 4 de verificare a cu
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
o pereche neordonată (x, y) ∈ Γ
Page 99 and 100:
Definit¸ia 6.1.12 Un drum al unui
Page 101 and 102:
Matricea booleană ata¸sată grafu
Page 103 and 104:
Fig.16 La pasul întâi putem marca
Page 105 and 106:
Fig.19 Algoritmul lui Yu Chen. Aces
Page 107 and 108:
6.2.4 Algoritmi pentru aflarea drum
Page 109 and 110:
¸si Fig.23 Scriem matricea latină
Page 111 and 112:
unde l(xi,xj) este lungimea arcului
Page 113 and 114:
a) durata drumului critic între do
Page 115 and 116:
116
Page 117 and 118:
Diagrama Gantt ne descrie în mod i
Page 119 and 120:
Exemplul 6.3.2. Pentru fluxul ϕ as
Page 121 and 122:
Fig.6.3.2. Marcăm mai întâi vâr
Page 123 and 124:
Valorile (xi,xj) din tabel au fost
Page 125 and 126:
6. Găsit¸i cu ajutorul algoritmul
Page 127 and 128:
8. Se obt¸ine tabelul final: i j l
Page 129 and 130:
Capitolul 7 Probleme de transport O
Page 131 and 132:
7.2 Determinarea unei solut¸ii ini
Page 133 and 134:
7.2.3 Metoda diferent¸elor maxime
Page 135 and 136:
Pentru îmbunătăt¸irea solut¸ie
Page 137 and 138:
Avem vj v1 =2 v2 =0 v3 =1 v4 =1 ui
Page 139 and 140:
depozitare. Obt¸inem astfel proble
Page 141 and 142:
Di de centrul de consum Cj. Dacă p
Page 143 and 144: Tabelul 7.6.3. Se observă că noua
Page 145 and 146: 10. Să se rezolve problema de tran
Page 147 and 148: Bibliografia aferentă capitolului:
Page 149 and 150: Definit¸ia 8.1.4 Spunem că ¸siru
Page 151 and 152: Observat¸ia 8.1.1 În practică, c
Page 153 and 154: i) Dacă l ∈ R ∗ ,atunci lim n
Page 155 and 156: Propozit¸ia 8.1.11 (Lema lui Cesar
Page 157 and 158: După doi ani, vom avea suma S2 = S
Page 159 and 160: Definit¸ia 8.2.7 Un spat¸iu vecto
Page 161 and 162: Corolarul 8.2.2 Spat¸iile R m sunt
Page 163 and 164: ezultă, pentru p →∞că d(xn,x0
Page 165 and 166: u ′′ n =sinnπ 3 n3 +3n2 +4n
Page 167 and 168: Bibliografia aferentă capitolului:
Page 169 and 170: Cum ¸stim efectua adunări de nume
Page 171 and 172: Demonstrat¸ie. Fie n>k;notăm cu S
Page 173 and 174: Teorema 9.2.2 (Criteriul Dirichlet)
Page 175 and 176: |(−1) n an+1 +(−1) n+1 an+2 +(
Page 177 and 178: Demonstrat¸ie. Fie seria sumelor p
Page 179 and 180: conform criteriului de comparat¸ie
Page 181 and 182: de unde an+1 an 1, procedând în m
Page 183 and 184: de unde găsim Sn < a1(l − ε) l
Page 185 and 186: 9.6 Test de verificare a cuno¸stin
Page 187 and 188: Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 189 and 190: Capitolul 10 Funct¸ii între spat
Page 191 and 192: Demonstrat¸ie. 1) Cum V (x0) este
Page 193: Exemplul 10.1.13. Dacă X = R 2 est
Page 197 and 198: Teorema 10.1.5 O mult¸ime A dintr-
Page 199 and 200: deci A este compactă. În finalul
Page 201 and 202: Dacă x =(x1,...,xm) ∈ A iar y =(
Page 203 and 204: 10.3 Limita unei funct¸ii într-un
Page 205 and 206: Se arată că f are limită în pun
Page 207 and 208: Exemple. 10.4.1. Fie (X, d) un spat
Page 209 and 210: de unde adică δ1 T (x) ≤1, 2x T
Page 211 and 212: Observat¸ia 10.4.4 Uniform continu
Page 213 and 214: Demonstrat¸ie. Vom proceda prin re
Page 215 and 216: 10.5 Test de verificare a cuno¸sti
Page 217 and 218: Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul
Page 219 and 220: Capitolul 11 Derivarea funct¸iilor
Page 221 and 222: 2) Produsul λf este derivabilă ¸
Page 223 and 224: (11.4) A¸sadar, avem = α(α − 1
Page 225 and 226: Observat¸ia 11.2.5 Între două r
Page 227 and 228: i) f este continuă pe[a, b]; ii) f
Page 229 and 230: (∀)t ∈ I, de unde g ′ (t) = f
Page 231 and 232: Acum, relat¸ia (11.9) se mai poate
Page 233 and 234: Definit¸ia 11.4.5 Numim ritmul loc
Page 235 and 236: Indicat¸ii ¸si răspunsuri Test n
Page 237 and 238: Capitolul 12 Derivarea funct¸iilor
Page 239 and 240: Exemplul 12.1.3. Pentru funct¸ia u
Page 241 and 242: Fig.12.2.1. Prima este o curbă de
Page 243 and 244: = a 2 ∂2f ∂u2 +2ac ∂2f ∂y
Page 245 and 246:
Demonstrat¸ie. Considerăm funct¸
Page 247 and 248:
i) F (a1,a2) =0 ii) F, F ′ x, F
Page 249 and 250:
2 ∂u ∂v 2x +6u − 3v2 ∂x ∂
Page 251 and 252:
= ∂f ∂f dx + ∂x ∂y dy. În
Page 253 and 254:
Pentru o funct¸ie de n variabile,
Page 255 and 256:
Egalându-le cu zero, avem sistemul
Page 257 and 258:
unde y ′ este derivata funct¸iei
Page 259 and 260:
de unde dy = − x y dx. Pentru x =
Page 261 and 262:
dx − dy − dz =0, de unde găsim
Page 263 and 264:
Raportul rxy = cxy σxσy se nume¸
Page 265 and 266:
(x − 1)(x − 3)(x − 4) l1(x) =
Page 267 and 268:
Indicat¸ii ¸si răspunsuri Test n
Page 269 and 270:
Capitolul 13 Generalizări ale not
Page 271 and 272:
∞ dx a1−λ În concluzie, avem
Page 273 and 274:
Avem Pm(x) lim xλ = lim x→∞ Qn
Page 275 and 276:
1 Funct¸ia f :[0, 1) → (0, ∞),
Page 277 and 278:
Teorema 13.2.1 (Teorema trecerii la
Page 279 and 280:
Cu alte cuvinte, în condit¸iile t
Page 281 and 282:
¸si −αx sin x Cum lim e x→0 x
Page 283 and 284:
1) Γ(1) = 0 ∞ e −x dx = −e
Page 285 and 286:
4) Rezultă imediat din 3). 5) Aces
Page 287 and 288:
În fiecare subdomeniu Di al divizi
Page 289 and 290:
Dacă D g(x, y)dxdy = 0, atunci pr
Page 291 and 292:
= 1 0 − 1 1 + dx = x +3 x +2 =
Page 293 and 294:
y 1 A(1, 1) 0 y=x y=x 2 1 Fig. 13.4
Page 295 and 296:
¸si avem I = Δ 1 √ rdrdθ = 1+
Page 297 and 298:
d) I = ∞ 0 7. Calculat¸i: a) I
Page 299:
show all

matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?