matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

convergent; fie l limita sa. Deoarece ank → l, pentru k →∞,rezultăcăpentruoriceε>0
există kε ∈ N a¸sa încât
ε
(8.3)
|ank − l| < , pentru orice k ∈ N, k > kε.
2
Din faptul că (an) este ¸sir fundamental avem că existăn1ε∈Na¸sa încât
|an − am| < ε
2 , pentru orice n, m ∈ N, n > n1ε, m>n1ε.
Fie acum nε = max{kε,n1ε} ¸si luând k>nε în (8.3), obt¸inem:
|an − l| = |an − ank + ank − l| ≤|an
ε ε
− ank | + |ank − l| < + = ε,
2 2
pentru orice n ∈ N, n>nε.
Prin urmare, ¸sirul (an) are limita l ∈ R, adicăeste convergent.
Observat¸ia 8.1.8 Criteriul lui Cauchy permite studierea convergent¸ei unui ¸sir fără să
cunoa¸stem limita lui. Pentru aceasta este suficient să cercetăm dacă ¸sirul este fundamental.
Exemplul 8.1.12. Să arătăm că ¸sirul
cos x
an =
3
este ¸sir Cauchy, deci convergent.
Avem
an+p =
cos x
3
+ cos 2x
3 2
+ cos 2x
3 2
cos nx
+ ...+
3n cos nx
+ ...+ , n ∈ R,
2n cos(n +1)x
+
3n+1 + ...+
cos(n + p)x
3n+p ,
cu p ∈ N∗ .
Atunci
|an+p − an| =
cos(n +1)x
3n+1 cos(n + p)x
+ ...+
3n+p
≤
≤ 1
1
1 1 1 − 3 + ...+ = ·
3n+1 3n+p 3n+1 p
1 − 1 +
3
1
2 · 3n
1 − 1
3p
< 1
.
2 · 3n Cum 1/2 · 3n → 0, rezultăcăpentruoriceε>0 există nε ∈ N a¸sa încât 1/2 · 3n nε. Atunci, pentru orice n>nε ¸si orice p ∈ N∗ ,avem|an+p − an| + ...+ = n ·
n +1 n +2 2n
2n
2n
de n ori
1 1
=
2n 2 ,
ceea ce ne arată că (an) nu poate fi ¸sir Cauchy.
Aplicat¸ie economică. Dobânda compusă. Se investe¸ste o sumă S, dată într-o anumită
unitate monetară, care acumulează odobândă compusă der% anual.
Dacă dobânda se adaugă anual, atunci la sfâr¸sirul primului an vom avea suma
S1 = S + rS = S(1 + r).
157