matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

unde δi, i = 1,n, este suma minorilor diagonali de ordin i ai matricei asociate operatorului
liniar T într-o anumită bază, adică:
a11 ... a1i
δi =
... ... ...
+
a22 ... a2,i+1
... ... ...
+ ...+
ai1 ... aii
+
ai+1,2 ... ai+1,i+1
an−i+1,n−i+1 ... an−i+1,n
... ... ...
an,n−i+1 ... ann
suma având C i n termeni, i = 1,n. Prin minor diagonal al matricei A înt¸elegem un minor
care are pe diagonala principală numai elemente de pe diagonala principală a matricei A.
Se observă că δ1 = a11 + a22 + ...+ ann = tr(A) este urma matricei A, iarδn = det A.
Propozit¸ia 4.1.5 Două matrice asemenea au acela¸si polinom caracteristic.
Demonstrat¸ie. Într-adevăr, dacă matricea A este asemenea cu B, adică are loc Definit¸ia
4.1.2, atunci
PB(λ) = det(B − λI) = det(C −1 AC − λI) = det(C −1 (A − λI)C) =
= det C −1 · det(A − λI) det C = det(A − λI) =PA(λ).
Corolarul 4.1.1 Polinomul caracteristic al unui operator liniar T ∈ L(X, X) este invariant
la schimbarea bazei.
Valabilitatea acestui corolar rezultă din Observat¸ia 4.1.2 ¸si Propozit¸ia 4.1.5.
Prin urmare, ca să găsim valorile caracteristice (spectrul) ¸si vectorii caracteristici
pentru operatorul liniar T ∈ L(X, X), dim X = n, alegem o bază B = {e (1) ,...,e (n) } în X,
rezolvăm ecuat¸ia caracteristică PA(λ) =0¸si, introducând pe rând fiecare rădăcină λi, i = 1,n,
a acesteia în sistemul (4.10), găsim vectori caracteristici corespunzători.
Propozit¸ia 4.1.6 Vectorii caracteristici corespunzători unei valori caracteristice λi, i = 1,n
formează împreună cu vectorul nul al spat¸iului vectorial X un subspat¸iu Vi al lui X, numit
subspat¸iu caracteristic sau propriu, de dimensiune cel mult egală cu ordinul de multiplicitate
al lui λi, i = 1,n.
Demonstrat¸ie. Se observă că Vi este mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei
(T − λiI)(x) =θ, adică nucleul transformării liniare T − λiI ∈ L(X, X) ¸si după Propozit¸ia 4.1.3
acesta este un subspat¸iu al lui X. Fie acum ki =dimVi ¸si mi ordinul de multiplicitate pentru
λi. Presupunem că amalesbazaB = {e (1) ,...,e (n) } în X a¸sa ca e (1) ,...,e (ki) săsegăsească în
Vi. Atunci avem T (e (s) )=λie (s) , s =1, 2,...,ki ¸si deci matricea A are, fat¸ă de această bază,
forma
⎛
λi 0 ...0
⎜ 0 λi ...0
⎜ .......
A = ⎜ 00...λi ⎜ 00...0
⎝ .......
a1,ki+1 ...a1n
a2,ki+1 ...a2n
.................
aki,ki+1 ...aki,n
aki+1,ki+1 ...aki+1,n
.................
⎞
⎟
⎠
de unde rezultă
00...0 an,ki+1 ...ann
PA(λ) =(λ− λi) ki Q(λ)
¸si cum ordinul de multiplicitate al lui λi este mi, rezultăki≤mi. Corolarul 4.1.2 Unei valori caracteristice simple îi corespunde un subspat¸iu propriu de dimensiune
egală cuunu.
59
,