matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Observat¸ia 12.3.2 Se pot considera funct¸ii implicite z = f(x1,x2, ..., xn) de variabile definite
printr-o ecuat¸ie F (x1,x2, ..., xn,z)=0. Calculul derivatelor part¸iale ale lui z se obt¸in printrun
procedeu analog cu cel de la derivarea funct¸iilor implicite de o variabilă reală.
Exemplul 12.3.4. Să se calculeze derivatele part¸iale de ordinul întâi ale funct¸iei z(x, y)
definită implicit de ecuat¸ia
2x + y + xyz = e z
Derivăm în raport cu x ¸si y t¸inând seama că z este funct¸iedex¸si y. Avem
2+yz + xy ∂z
∂x = ez · ∂z
∂x ,
de unde
dacă e z − xy = 0.
1+xz + xy ∂z
∂y = ez · ∂z
∂y ,
∂z 2+yz
=
∂x ez ∂z 1+xz
, =
− xy ∂y ez − xy ,
Observat¸ia 12.3.3 Există situat¸ii practice sau teoretice în care intervin funct¸ii definite implicit
de sisteme de ecuat¸ii. Să considerăm cazul simplu a două ecuat¸ii cu patru variabile:
F1(x, y, u, v) =0,
F2(x, y, u, v) =0.
În anumite condit¸ii, acest sistem define¸ste implicit două funct¸ii u = f(x, y) ¸si v = g(x, y)
Pentru calculul derivatelor part¸iale de ordinul întâi ale funct¸iilor u ¸si v se derivează
ecuat¸iile sistemului în raport cu x ¸si y, t¸inând cont că u¸si v sunt funct¸ii de x ¸si y. Avem:
∂F1
∂x
∂F2
∂x
∂F1
∂y
∂F2
∂y
+ ∂F1
∂u
+ ∂F2
∂u
+ ∂F1
∂u
+ ∂F2
∂u
∂u ∂F1 ∂v
· + ·
∂x ∂v ∂x =0,
∂u ∂F2 ∂v
· + ·
∂x ∂v ∂x =0,
∂u ∂F1 ∂v
· + ·
∂y ∂v ∂y =0,
∂u ∂F2 ∂v
· + ·
∂y ∂v ∂y =0.
Se observă căprimele două ecuat¸iiformează un sistem liniar în necunoscutele ∂u
∂x
Ambele sisteme au ca determinant pe
D(F1,F2)
D(u, v) =
∂F1
∂u
∂F1
∂v
,
∂F2
∂u
∂F2
∂v
¸si ∂v
∂x .
numit determinantul funct¸ional sau iacobianul funct¸iilor F1,F2 în raport cu u, v. Dacă
D(F1,F2)
D(u, v)
= 0, atunci din sistemele de mai sus se află ∂u
∂x
, ∂v
∂x
∂u ∂v
, ,
∂y ∂y .
Exemplul 12.3.5. Sistemul x +2y + u2 + v2 =6, x2 + xy +2u3 − v3 =7define¸ste pe u ¸si v ca
funct¸ii de x ¸si y, cu u(2, 1)= 1 ¸si v(2, 1)= 1. Să calculăm derivatele part¸iale ∂u ∂v ∂u ∂v
, , ,
∂x ∂x ∂y ∂y
în punctul (2, 1).
Pentru a calcula ∂u ∂v
¸si derivăm ecuat¸iile sistemului în raport cu x, t¸inând seama că
∂x ∂x
u¸si v sunt funct¸ii de x. Avem
1+2u ∂u ∂v
+2v
∂x ∂x =0
249