matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu
matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu
matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Definit¸ia 3.1.10 Rangul comun al sistemelor de vectori linii sau coloane a unei matrice se<br />
nume¸ste rangul ei.<br />
Altfel spus, rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de linii sau coloane liniar<br />
independent, <strong>în</strong>tre ele.<br />
Propozit¸ia 3.1.2 Rangul unei matrici este egal cu rangul transpusei sale.<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece prin transpunere sistemul de vectori linie al unei matrici devine<br />
sistemul de vectori coloană al transpusei matricei, <strong>din</strong> teorema rangului rezultă că matricea<br />
¸si transpusa ei au acela¸si rang.<br />
Observat¸ia 3.1.1 Prin transformări elementare <strong>aplicate</strong> sistemului de vectori linie sau<br />
coloane, rangul unei matrice nu se modifică.<br />
Valabilitatea acestei observat¸ii rezultă <strong>din</strong> teorema rangului ¸si <strong>din</strong> faptul că prin efectuarea<br />
unor transformări elementare rangul unui sistem de vectori nu se modifică (v.3.3).<br />
Propozit¸ia 3.1.3 Prin transformări elementare asupra liniilor ¸si coloanelor, orice matrice<br />
A poate fi transformată<strong>în</strong>tr-o matrice B, având toate elementele nule cu except¸ia primelor<br />
r elemente de pe diagonala principală, care să fie egale cu 1. Matricea A are atunci rangul<br />
r.<br />
Demonstrat¸ie. Considerăm matricea<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 ... a1j ... a1n<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
ai1 ai2 ... aij ... ain<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
am1 am2 ... amj ... amn<br />
Dacă A este matricea nulă, atunci afirmat¸ia propozit¸iei este dovedită. Dacă nu, atunci<br />
putem presupune că a11 = 0 (<strong>în</strong> caz că a11 = 0 se fac schimbări ale or<strong>din</strong>ii liniilor sau<br />
coloanelor). Pentru a obt¸ine 1 pe pozit¸ia lui a11 <strong>în</strong>mult¸im prima linie cu a −1<br />
11 . Pentru a avea<br />
0 pe pozit¸ia ai1, i = 2,m, <strong>în</strong>mult¸im acum linia <strong>în</strong>tâi cu −ai1. Elementul aij se <strong>în</strong>locuie¸ste cu<br />
aij − a −1<br />
⎟<br />
⎠<br />
11 a1jai1 = a11aij − a1jai1<br />
,i= 2,m,j = 2,n,<br />
an<br />
<strong>în</strong> care se recunoa¸ste regula de calcul a dreptunghiului sau elementului pivot.<br />
Aplicând repetat acest procedeu, după un număr finit de pa¸si, ajungem că A este<br />
echivalentă (∼) <strong>din</strong> punctul de vedere al rangului cu matricea<br />
⎛<br />
1 0 ... 0 0 ...<br />
⎞<br />
0<br />
⎜<br />
0<br />
⎜ .<br />
⎜ .<br />
B = ⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
1<br />
.<br />
0<br />
0<br />
.<br />
...<br />
.<br />
...<br />
...<br />
.<br />
0<br />
.<br />
1<br />
0<br />
.<br />
0<br />
.<br />
0<br />
0<br />
.<br />
...<br />
.<br />
...<br />
...<br />
.<br />
0 ⎟<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎟<br />
. ⎟<br />
. ⎠<br />
linia r<br />
0 0 ... 0 0 ... 0<br />
¸si deci rangul lui A este r, datdenumărul de cifre 1 <strong>din</strong> B.<br />
Demonstrat¸ia acestei propozit¸ii ne dă ¸si procedeul practic de aflare a rangului unei<br />
matrice, calculele făcându-se cu cunoscuta regulă a dreptunghiului.<br />
Exemplul 3.1.1. Să se afle rangul matricei<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 2 1 1 3<br />
2 −1 4 −5 −6<br />
1 1 2 −1 0<br />
1 −2 2 −4 −6<br />
31<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
Change language