matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

iii) g ′ (x) = 0, oricare ar fi x ∈ I −{x0};
f
iv) există lim
x→x0
′ (x)
g ′ = l ∈ R,
(x)
atunci are loc
¸si
f(x) f
lim = lim
x→x0 g(x) x→x0
′ (x)
g ′ = l.
(x)
Pentru demonstrat¸ie considerăm funct¸iile
f(x) , dacă x ∈ I −{x0}
F (x) =
0 , dacă x = x0
g(x) , dacă x ∈ I −{x0}
G(x) =
0 , dacă x = x0
Aceste funct¸ii sunt continue pe I derivabile pe I −{x0} ¸si G ′ (x) = 0, oricare ar fi
x ∈ I −{x0}. Aplicăm teorema lui Cauchy funct¸iilor F (x) ¸si G(x) pe intervalul compact [x0,x]
¸si avem
F (x) − F (x0)
G(x) − G(x0) = F ′ (c)
G ′ (c) = f ′ (c)
g ′ (c) , x0 a;
f
iv) există lim
x→∞
′ (x)
g ′ = l ∈ R, atunci are loc egalitatea
(x)
f(x) f
lim = lim
x→∞ g(x) x→∞
′ (x)
g ′ (x) .
Pentru demonstrat¸ie se face schimbarea de variabilă x =1/t ¸si se aplică prima regulă aluil ′ Hospital
pe intervalul 0, 1
a pentru x → 0.
Observat¸ia 11.2.7 Dacă avem lim f(x) = lim y(x) =+∞, atunciscriem
x→x0 x→x0
¸si se aplică prima regulă aluil ′ Hospital.
f(x)
lim = lim
x→x0 g(x) x→x0
Observat¸ia 11.2.8 Cazurile de nedeterminare ∞−∞, 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 se reduc prin transformări
(operat¸ii) algebrice la situat¸iile 0
0
sau ∞
∞ .
Teorema 11.2.4 (Teorema lui Lagrange – teorema cre¸sterilor finite – prima formulă demedie
a calculului diferent¸ial). Fie f :[a, b] → R ofunct¸ie care satisface condit¸iile:
227
1
f(x)
1
g(x)