matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Demonstrat¸ie. Fie lim
n→∞ xn = x; pentru ε =1există n1 ∈ N a¸sa încât d(xn,x) < 1, oricare ar
fi n>n1. Punând M = max{d(x1,x),d(x2,x),...,d(xn1 ,x), 1}, avemd(xn,x) ≤ M, pentruorice
n ∈ N ∗ , ceea ce ne arată că¸sirul de puncte (xn) este mărginit în (X, d).
Definit¸ia 8.2.4 S¸irul de puncte (yn) din spat¸iul (X, d) este sub¸sir al ¸sirului de puncte (xn) din
(X, d) dacă există un¸sir (kn)n≥1 de numere naturale, strict crescător, a¸sa încât yn = xkn .
Propozit¸ia 8.2.3 Dacă ¸sirul de puncte (xn) este convergent la x în (X, d), atunci orice sub¸sir
al său are de asemenea limita x.
Demonstrat¸ie. Valabilitatea propozit¸iei rezultă din Propozit¸ia 8.1.11, de la ¸siruri de
numere reale deoarece dacă (yn) este un sub¸sir al ¸sirului de puncte (xn), atunci ¸sirul real
(d(yn,x)) este sub¸sir al ¸sirului numeric (d(xn,x)).
Propozit¸ia 8.2.4 (Criteriul majorării). Dacă pentru ¸sirul de puncte (xn) din (X, d) există
x ∈ X ¸si ¸sirul (an) de numere reale a¸sa ca d(xn,x) ≤|an| ¸si lim
n→∞ an =0, atunci (xn) este
convergent ¸si lim
n→∞ xn = x.
Demonstrat¸ia se obt¸ine folosind criteriul majorării de la ¸siruri de numere reale ¸si
Definit¸ia 8.2.2.
Definit¸ia 8.2.5 S¸irul de puncte (xn) din (X, d) se nume¸ste ¸sir fundamental sau ¸sir Cauchy
dacă pentru orice ε>0 există nε ∈ N a¸sa încât pentru orice n, m ∈ N, n>nε, m>nε, să
avem d(xm,xn) 0 ¸si orice p ∈ N ∗ există nε ∈ N
astfel încât, pentru orice n ∈ N, n>nε, avemd(xn+p,xn) n1, m>n1, săavemd(xn,xm) < 1. Dacă punem
M = max{1,d(x1,xn1+1),d(x2,xn1+1),...,d(xn1 ,xn1+1)}
atunci d(xn,xn1+1) ≤ M, pentruoricen ∈ N ∗ . Prin urmare, ¸sirul (xn) este mărginit în (X, d).
Teorema 8.2.1 Orice ¸sir convergent de puncte din (X, d) este ¸sir Cauchy în (X, d).
Demonstrat¸ie. Fie (xn) un ¸sir convergent de puncte din (X, d). Dacă lim
n→∞ xn = x, x ∈ X,
atunci pentru orice ε>0 există nε a¸sa încât, oricare ar fi n ∈ N, n>nε, săavemd(xn,x) nε, avem¸si d(xn+p,x)