matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Testul 3
2. Se verifică condit¸ia f(αx + βy) =α · f(x)+β · f(y) (∀) α, β ∈ R ¸si (∀) x, y ∈ R 3 .
3. Se solut¸ionează analog cu problema precedentă.
4. Se obt¸in valorile caracteristici λ1 =1, λ2 =2, λ3 =3¸si vectorii caracteristice v ′ 1 =
(a, 2a, a), a ∈ R cu reprezentatul v1 =(1, 2, 1); v ′ 2 =(a, a, 0), a ∈ R cu reprezentantul
v2 =(1, 1, 0); v ′ 3 =(a, 2a, 3a), a ∈ R cu reprezentantul v3 =(1, 2, 2).
5. Se obt¸in valorile caracteristice λ1 = −1, λ2 = λ3 =1¸si vectorii caracteristici v1 =(3, 5, 6),
v2 =(2, 1, 0) ¸si v3 =(−1, 0, 1). Apoisearatăcă v1,v2,v3 sunt liniar independent¸i. Deoarece
din R3 ⎛
⎞
−1 0 0
=3se obt¸ine {v1,v2,v3} baza căutată iar matricea ata¸sată este⎝
0 1 0 ⎠.
0 0 1
6. Se determină valorile caracteristice λ1 =3, λ2 = λ3 =2, vectorii caracteristici v1 =
(2, −5, −6), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0) care se arată căsunt liniar indepedent¸i. Deci
{v1,v2,v3} bază în R3 ⎛ ⎞
3 0 0
¸si matricea transformării are forma diagonală ⎝ 0 2 0 ⎠.
0 0 2
7. Forma canonică estef(y) =y 2 1 − 3y 2 2 +3y 2 3.
, y2 =
2
x1 − x2
, y3 = x3 ¸si obt¸inem f(y) =y
2
2 1 − y2 2 +
8y1y3 − 2y2y3. Apoi aplicând metoda lui Gauss obt¸inem forma canonică:
8. Folosim transformarea: y1 = x1 + x2
f(z) =z 2 1 − z 2 2 − 15z 2 3.
9. Avem Δ0 =1, Δ1 =1, Δ2 =2, Δ3 =3, Δ4 = −20, deci forma canonică:
f(y) =y 2 1 + 1
2 y2 2 + 2
3 y2 3 − 3
20 y2 4.
10. Analog cu solut¸ia problemei precedente se obt¸ine forma canonică:
f(y) =y 2 1 − y 2 2 + 1
3 y2 3 − 1
4 y2 4.
70