matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Pentru cazul particular f ≡ 1, avem
D
dy = aria(D).
Teorema 13.4.4 (de semn) Dacă f : D ⊂ R 2 → (0, ∞), atunci
D
f(x, y)dxdy ≥ 0.
Proprietatea din enunt¸ rezultă imediat din nenegativitatea sumelor integrale.
Teorema 13.4.5 (de monotonie) Dacă f,g : D ⊂ R2 → R sunt integrabile pe D ¸si f ≤ g pe D,
atunci
D
f(x, y)dxdy ≤
D
g(x, y)dxdy.
Pentru demonstrat¸ie se aplică funct¸iei g − f ≥ 0 proprietatea de semn.
Teorema 13.4.6 (modulului) Dacă funct¸ia f : D ⊂ R2 → R este integrabilă peD ¸si atunci |f|
este integrabilă peD ¸si avem
f(x, y)dxdy
D
≤
|f(x, y)|dxdy.
D
Formula din teoremă rezultă imediat din inegalitatea −|f| ≤f ≤|f|.
Teorema 13.4.7 (de medie) Dacă f,g : D ⊂ R 2 → R sunt integrabile pe D, m = inf f(x, y),
(x,y)∈D
M = sup
(x,y)∈D
f(x, y) ¸si g are semn constant pe D, atunci există unnumăr real μ ∈ [m, M] a¸sa
încât
f(x, y)d(x, y)dxdy = μ g(x, y)dxdy,
D
D
numită formula de medie generalizată pentru integrala dublă.
Demonstrat¸ie Considerăm g ≥ 0 pe D. Atunci din m ≤ f(x, y) ≤ M rezultă mg(x, y) ≤
f(x, y)g(x, y) ≤ Mg(x, y). Utilizând proprietatea de monotonie a integralei duble, putem
scrie:
(13.3)
m
D
g(x, y)dxdy ≤
≤ M
D
D
f(x, y)g(x, y)dxdy ≤
g(x, y)dxdy =0.
Dacă g(x, y)dxdy =0, atunci f(x, y)g(x, y)dxdy =0¸si putem alege orice μ ∈ [m, M]
D
D
ca să avem formula din Teorema de medie.
289