matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

7.2 Determinarea unei solut¸ii init¸iale
Pentru aflarea unei solut¸ii init¸iale într-o problemă de transport se cunosc mai multe
metode. În cele ce urmează vom prezenta trei metode.
7.2.1 Metoda colt¸ului Nord–Vest
Această metodăconstă în a atribui, pe rând, valori variabilelor necunoscute începând
cu cea din colt¸ul Nord–Vest al tabelului. Astfel, mai întâi luăm x11 = min(a1,b1). Dacă
min(a1,b1) =a1, atunci x12 = ... = x1n =0,iardacă min(a1,b1) =b1, atunci x21 = x31 = ... =
xm1 = 0. Metoda continuă apoi cu x21 = min(a2,b1 − a1) în prima situat¸ie, respectiv cu
x12 = min(a1 − b1,b2) în cealaltă situat¸ie. Procesul se repetă până când este repartizată ¸si
ultima cantitate disponibilă.
Exemplul 7.2.1. Se consideră trei furnizori D1, D2 ¸si D3 care au disponibile corespunzător
cantităt¸ile de un anumit produs a1 =50, a2 =30¸si a3 =40. Acestea sunt solicitate de patru
consumatori C1, C2, C3 ¸si C4 în cantităt¸ile b1 =45, b2 =15, b3 =25¸si b4 =35. Cunoscând
costurile unitare de transport 3, 2, 1, 1; 2, 3, 2, 1 ¸si 4, 2, 3, 2 unităt¸i monetare de la D1, D2 ¸si D3,
să se scrie modelul matematic al problemei de transport, când se urmăre¸ste minimizarea
costului total.
Utilizând metoda colt¸ului Nord–Vest să segăsească osolut¸ie init¸ială.
Dacă notăm cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la furnizorul Di, i =1, 2, 3
la beneficiarul Cj, j =1, 2, 3, 4, atunci obt¸inem următorul model matematic:
x11 +x12 +x13 +x14 =50
x21 +x22 +x23 +x24 =30
x31 +x32 +x33 +x34 =40
x11 +x21 +x31 =45
x12 +x22 +x32 =15
x13 +x23 +x33 =25
x14 +x24 +x34 =35
xij ≥ 0, i =1, 2, 3, j =1, 2, 3, 4.
(min)f =3x11 +2x12 + x13 + x14 +2x21 +3x22+
+2x23 + x24 +4x31 +2x32 +3x33 +2x34
Sub formă tabelară modelul matematic este
Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
3
2
1
1
50
D1
D2
D3
2
4
x11
x21
x31
3
2
x12
x22
x32
Necesar 45 15 25 35 120
Pentru aflarea solut¸iei init¸iale cu metoda colt¸ului Nord–Vest procedăm astfel: alegem
x11 = min(45, 50) = 45; atunci x21 = x31 =0; apoi x12 = min(15, 5) = 5 ¸si x13 = x14 =0; în
continuare x22 = min(10, 30) = 10 ¸si x32 =0; mai departe x23 = min(20, 25) = 20 ¸si x24 =0¸si în
final x33 =5¸si x34 =35.
De obicei, se determină solut¸ia init¸ială în tabel, mic¸sorându-se de fiecare dată disponi-
2
3
132
x13
x23
x33
1
2
x14
x24
x34
30
40