matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Demonstrat¸ie. 1) Cum V (x0) este vecinătate a lui x0 rezultă că există r > 0 a¸sa încât
S(x0,r) ⊂ V (x0). Dar atunci S(x0,r) ⊂ U, adică U este o vecinătate a lui x0.
2) Din faptul că V1(x0) ¸si V2(x0) sunt vecinătăt¸i ale lui x0 rezultă căexistă r1 > 0 ¸si r2 > 0,
a¸sa încât S(x0,r1) ⊂ V1(x0) ¸si S(x0,r2) ⊂ V2(x0). Considerând r = min(r1,r2) se observă că
S(x0,r) ⊂ Vi(x0), i =1, 2; deci S(x0,r) ⊂ V1(x0) ∩ V2(x0). Prin urmare, V1(x0) ∩ V2(x0) este o
vecinătate a lui x0.
3) Această proprietate rezultă din definit¸ia vecinătăt¸ii lui x0.
4) Cum V (x0) este vecinătate a lui x0 rezultă că există r > 0 a¸sa ca S(x0,r) ⊂ V (x0).
Considerăm W (x0) = S(x0,r). Dacă y ∈ W (x0), întrucât d(y, x0) < r, luând r1 a¸sa încât
0