matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Demonstrat¸ie. Avem
f(x, y) − f(a1,a2) =[f(x, y) − f(a1,y)] + [f(a1,y) − f(a1,a2)] .
Aplicăm fiecărei paranteze drepte formula cre¸sterilor finite ¸si avem:
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(ξ,y)(x − a1)+f ′ y(a1,η)(y − a2),
unde ξ este cuprins între a1 ¸si x, iarη este cuprins între a2 ¸si y. Acum putem scrie
În continuare, notăm:
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a1)+
+[f ′ x(ξ,y) − f ′ x(a1,a2)] (x − a1)+ f ′ y(a1,a2) − f ′ y(a1,a2) (y − a2)
α1(x, y) =f ′ x(ξ,y) − f ′ x(a1,a2)
α2(x, y) =f ′ y(a1,η) − f ′ y(a1,a2).
Cum din (x, y) → (a1,a2) rezultă (ξ,y) → (a1,a2) ¸si (a1,η) → (a1,a2) ¸si deoarece f ′ x ¸si f ′ y sunt
continue în M(a1,a2) avem
¸si
În final obt¸inem
lim
(x,y)→(a1,a2) α1(x, y) = lim
(x,y)→(a1,a2) [f ′ x(ξ,η) − f ′ x(a1,a2)] = 0
lim
(x,y)→(a1,a2) α2(x, y) = lim
(x,y)→(a1,a2) [f ′ y(a1,η) − f ′ y(a1,a2)] = 0
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a2)+
unde funct¸iile α1 ¸si α2 sunt continue în M ¸si
+α1(x, y)(x − a1)+α2(x, y)(y − a2),
lim
(x,y)→(a1,a2) α1(x, y) = lim
(x,y)→(a1,a2) α2(x, y) =0.
Teorema este demonstrată.
Pentru (x, y) suficient de aproape de (a1,a2) din (12.1) avem
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a2),
iar dacă notăm x − a1 = h ¸si y − a1 = k, atunci obt¸inem
Definit¸ia 12.4.1 Funct¸ia liniară g : R 2 → R,
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)h + f ′ y(a1,a2)k.
g(h, k) =f ′ x(a1,a2)h + f ′ y(a1,a2)k
se nume¸ste diferent¸iala funct¸iei în punctul M(a1,a2).
Notăm g prin df (a1,a2). Dacăconsiderăm f(x, y) =x ¸si f(x, y) =y, (x, y) ∈ R 2 găsim h = dx ¸si
k = dy. Acum diferent¸iala lui f în (a1,b1) ia forma
df (a1,a2) =f ′ x(a1,a2)dx + f ′ y(a1,a2)dy.
Diferent¸iala funct¸iei f într-un punct arbitrar (x, y) ∈ D se scrie
df (x, y) =f ′ x(x, y)dx + f ′ y(x, y)dy =
251