matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

(11.4)
A¸sadar, avem
= α(α − 1) ...(α − n + 1)(α − n)a n+1 (a + b) α−n−1
((ax + b) α ) (n) = α(α − 1) ...(α − n +1)a n (ax + b) α−n
Cazuri particulare. 1. Dacă α = n, atunci din (11.4) găsim ((ax + b) n ) (n) = n!a n , de unde
pentru a =1¸si b =0obt¸inem (x n ) (n) = n!.
2. Dacă α = −1, atunci din (11.4) obt¸inem
(n)
1
=
ax + b
(−1)n · n!an .
(ax + b) n+1
3. Dacă α = 1
2 , atunci din (11.4) obt¸inem
( √ ax + b) (n) n−1 1 · 3 · 5 · ...· (2n − 3)
=(−1)
2n √
ax + b
,n≥ 2.
(ax + b) n
Exemplul 11.1.2. (Formula lui Leibniz.) Fie f,g : D ⊆ R → R două funct¸ii de n ori derivabile
pe D. Atunci are loc egalitatea
(fg) (n) n
(x) = C k nf (n−k) (x)g (k) (x),
k=0
pentru orice x ∈ D, numităformula lui Leibniz.
Avem (f · g) ′ (x) =f ′ (x)g (0) (x) +f (0) (x)g ′ (x), pentru orice x ∈ D, deci egalitatea este
adevărată pentru n =1.
Presupunem egalitatea adevărată pentru n = k ¸si să demonstrăm că esteadevărată ¸si
pentru n = k +1.
conduce la
Putem scrie
(fg) (k+1) (x) =((fg) (k) ) ′ (x) =
k
k
i=0
C i kf (k−i) (x)g (i) (x)
= C
i=0
i
k f (k−i+1) (x)g (i) (x)+f (k−i) (x)g (i+1)
(x) =
= C 0 kf (k+1) (x)g (0) (x)+[C 0 k + C 1 k]f (k) (x)g (1) (x)+
+[C 1 k + C 2 k]f (k−1) (x)g (2) (x)+...+[C k−1
k + Ck k ]f (1) (x)g (k) (x)+
+C k k f (0) (x)g (k+1) (x).
Deoarece C 0 k = C0 k+1 =1, Ck k
= Ck+1
k+1
(fg) k+1 k+1
(x) =
=1¸si Ci−1
k + Ci k = Ci k+1 , i ≤ k, egalitatea precedentă
i=0
C i k+1f (k+1−i)
(x)
· g (i)
(x) ,
ceea ce trebuia demonstrat. A¸sadar, formula lui Leibniz este adevărată.
11.2 Proprietăt¸i de bază ale funct¸iilor derivabile pe un interval
Definit¸ia 11.2.1 Fie f : A ⊆ R → R ofunct¸ie. Un punct x0 ∈ A se nume¸ste punct de maxim
local (sau relativ) al funct¸iei f dacă există o vecinătate V (x0) aluix0 a¸sa încât f(x) ≤ f(x0),
pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A.
Un punct x0 ∈ A se nume¸ste punct de minim local (sau relativ) dacă există ovecinătate
V (x0) aluix0 a¸sa încât f(x) ≥ f(x0), pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A.
Punctele de maxim sau minim local ale funct¸iei f se numesc puncte de extrem relativ
(sau local) ale funct¸iei f, iar valorile funct¸iei în punctele sale de extrem se numesc extreme
ale funct¸iei f.
224
′
=