matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

conform criteriului de comparat¸ie a termenilor generali obt¸inem că seria
gentă pentru α1. Avem
de unde
1
(2t−1 +
) α
S2 t −1 =
1 ≤ 1
1 1 1
+ ≤ 2 ·
2α 3α 2
1 1 1 1 1
+ + + < 4 · <
4α 5α 6α 7α 4α 1
(2t−1 1
+ ...+
+1) α (2t < 2 ·
1) α
2 t −1
k=1
1
<
kα t
k=1
1
(2 α−1 )
1
= α 2α−1
1
2α−1 2 1 −
= k−1 1
1 − 1
∞
n=1
1
(2n−1
1
=
) α 2α−1 αt−1 ,
(2 α−1 ) t
2 α−1
< 2α − 1
2 α−1 − 1 ,
1
este diver-
nα adică sub¸sirul (S2t−1) al ¸sirului sumelor part¸iale (Sn) este mărginit.
Cum ¸sirul (Sn) este crescător ¸si pentru orice n ∈ N există unt∈ N a¸sa încât n1.
nα n=1
∞ 1
Este bine de ret¸inut că seria armonică generalizată este convergentă pentru
nα n=1
α>1 ¸si divergentă pentru α ≤ 1.
∞ 1
Exemplul 9.4.2. Seria este convergentă deoarece
n(n + 1)(n +2)
n=1
1
<
n(n + 1)(n +2) 1
√
n3 ,
iar seria 1
este convergentă fiind o serie armonică generalizată cuα =3/2 > 1.
n3/2 Teorema 9.4.3 (Criteriul de comparat¸ie al limitei raportului termenilor generali). Fie seriile
an ¸si bn cu termenii pozitivi.
an
i) Dacă există lim = λ ¸si λ ∈ (0, ∞), atunci cele două serii au aceea¸si natură.
n→∞ bn
an
ii) Dacă lim
n→∞ bn
=0, atunci dacă bn este convergentă rezultăcă¸si an este conver-
gentă, iar dacă an este divergentă rezultăcă¸si bn este divergentă.
an
iii) Dacă lim = ∞, atunci dacă
n→∞ bn
an este convergentă rezultăcă¸si bn este convergentă,
iar dacă bn este divergentă rezultăcă¸si an este divergentă.
Demonstrat¸ie. i) Din lim
n→∞
pentru orice n>nε, săavem
an
bn
an
bn
= λ rezultă că, pentru orice ε>0, existănε∈N, a¸sa încât,
− λ